《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

☆定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

答案： 解:由已知,得$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=k$,
$\therefore \frac {AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac {AB}{A'B'}=k$.
如图,分别作$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的高$CD$,$C'D'$.
$\because \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$,
$\therefore \frac {CD}{C'D'}=\frac {AB}{A'B'}=k$.
$\therefore \frac {S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\frac {\frac {1}{2}AB\cdot CD}{\frac {1}{2}A'B'\cdot C'D'}=\frac {AB}{A'B'}\cdot \frac {CD}{C'D'}=k^{2}$.
定理:相似比 相似比的平方

【例1】已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，且相似比为$1:3$，则周长比为____，面积比为____。

答案： $1:3$ $1:9$

【变式1】已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，且它们的面积比为$4:3$，则它们的对应高的比为____，周长比为____。

答案： $2:\sqrt {3}$ $2:\sqrt {3}$

【例2】已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的相似比为$1:3$，若$\triangle ABC$的面积为2，求$\triangle DEF$的面积。

答案： 解:$\because \triangle ABC$与$\triangle DEF$的相似比为$1:3$,
$\therefore \frac {S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}}=\frac {1}{9}$,即$\frac {2}{S_{\triangle DEF}}=\frac {1}{9}$.
解得$S_{\triangle DEF}=18$.

【变式2】已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，且它们的面积比为$4:9$，其中一个三角形的周长为12，求另一个三角形的周长。

答案： 解:依题意,得$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长比为$2:3$.
$\because$其中一个三角形的周长为12,
$\therefore$另一个三角形的周长为18或8.

【例3】(北师教材九上P110例2)如图，将$\triangle ABC$沿$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$重叠部分(图中阴影部分)的面积是$\triangle ABC$的面积的一半。已知$BC = 2$，求$\triangle ABC$平移的距离。
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答案： 解:$\because \triangle ABC$沿$BC$边平移到$\triangle DEF$的位置,
$\therefore AB// EG$.
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle GEC$.
$\therefore \frac {S_{阴影}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac {CE}{BC})^{2}=\frac {1}{2}$.
$\therefore BC:EC=\sqrt {2}:1$.
$\because BC=2$,
$\therefore EC=\sqrt {2}$.
$\therefore \triangle ABC$平移的距离为$BE=2-\sqrt {2}$.

【变式3】如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$和$AC$上，且$DE // BC$。
(1)若$AD:DB = 1:1$，$S_{\triangle ADE} = 2$，求$S_{四边形DBCE}$。
(2)若$S_{\triangle ADE} = S_{四边形DBCE}$，求$\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{DB}$的值。
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课堂总结：利用相似三角形的性质解题必须先证三角形相似。
注意：对应线段的比、周长比都等于相似比，只有面积比等于相似比的平方。

答案： 解:
(1)$\because AD:DB=1:1$,
$\therefore AD:AB=1:2$.
$\because DE// BC$,
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC$.
$\therefore \frac {S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac {AD}{AB})^{2}=\frac {1}{4}$.
$\therefore \frac {S_{\triangle ADE}}{S_{四边形DBCE}}=\frac {1}{3}$.
$\because S_{\triangle ADE}=2$,
$\therefore S_{四边形DBCE}=6$.
(2)$\because DE// BC$,
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC$.
$\because S_{\triangle ADE}=S_{四边形DBCE}$,
$\therefore S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=1:2$.
$\therefore \frac {DE}{BC}=\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {AD}{AB}=\frac {\sqrt {2}}{2}$.
$\therefore \frac {AD}{BD}=\sqrt {2}+1$.