《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】已知点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$在反比例函数$y=\frac {1}{x}$的图象上.如果$x_{1}\lt x_{2}$，而且$x_{1},x_{2}$同号，那么$y_{1},y_{2}$有怎样的大小关系？为什么？

答案： 解：$y_{1}＞y_{2}$。理由如下：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象分别位于第一、三象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
　$\because x_{1},x_{2}$同号，
　$\therefore A,B$两点都在第一或第三象限。
　又$\because x_{1}＜x_{2}$，
　$\therefore y_{1}＞y_{2}$。

【变式1】(1)在反比例函数$y=-\frac {4}{x}$的图象上有三个点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$，若$x_{1}\lt0\lt x_{2}\lt x_{3}$，则下列结论正确的是（C）
A.$y_{3}\lt y_{2}\lt y_{1}$
B.$y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2}$
C.$y_{2}\lt y_{3}\lt y_{1}$
D.$y_{3}\lt y_{1}\lt y_{2}$
(2)(分类讨论)已知点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$都在反比例函数$y=\frac {1}{x}$的图象上，且$x_{1}\lt x_{2}$，试判断$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系.
解：$\because$反比例函数$y=\frac{1}{x}$中，$k=1$，$\therefore$图象在第一、三象限，在每个象限$y$随$x$的增大而减小。
　当$x_{1},x_{2}$同号，即$0＜x_{1}＜x_{2}$或$x_{1}＜x_{2}＜0$时，$y_{1}＞y_{2}$；
　当$x_{1},x_{2}$异号，即$x_{2}＞0＞x_{1}$时，$y_{1}＜y_{2}$。

答案：
(1)C
(2)解：$\because$反比例函数$y=\frac{1}{x}$中，$k=1$，$\therefore$图象在第一、三象限，在每个象限$y$随$x$的增大而减小。
　当$x_{1},x_{2}$同号，即$0＜x_{1}＜x_{2}$或$x_{1}＜x_{2}＜0$时，$y_{1}＞y_{2}$；
　当$x_{1},x_{2}$异号，即$x_{2}＞0＞x_{1}$时，$y_{1}＜y_{2}$。

【例2】新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖.已知楼体外表面的面积为$5×10^{3}m^{2}$.
(1)所需的瓷砖块数$n$与每块瓷砖的面积$S$(单位：$m^{2}$)有怎样的函数关系？
(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是$80cm^{2}$，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为$2:2:1$，需要三种瓷砖各多少块？

答案： 解：
(1)$\because$每块瓷砖的面积$S=$楼体外表面的总面积$÷$所需的瓷砖块数，
　$\therefore n$与$S$的函数关系式是$n=\frac{5000}{S}$。
(2)当$S=80×10^{-4}=8×10^{-3}$时，$n=\frac{5000}{8×10^{-3}}=625000$（块）。
　设蓝瓷砖$x$块，则白瓷砖、灰瓷砖分别为$2x$块、$2x$块。
　依据题意，得$x+2x+2x=625000$，
　解得$x=125000$。
　答：需要蓝瓷砖125000块，白瓷砖250000块，灰瓷砖250000块。

【变式2】某汽车油箱的容积为$70L$，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到$300km$外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：
(1)油箱加满油后，汽车行驶的总路程$s$(单位：$km$)与平均耗油量$b$(单位：$L/km$)有怎样的函数关系？
(2)小王以平均每千米耗油$0.1L$的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍，如果小王始终以此速度行驶，不加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少升油？

答案： 解：
(1)汽车能够行驶的总路程$s$（单位：$km$）与平均耗油量$b$（单位：$L/km$）之间的函数关系为$s=\frac{70}{b}(b＞0)$。
(2)去省城的耗油量：$300×0.1=30(L)$，返回县城的油耗量：$30×2=60(L)$。
　$\because30+60=90＞70$，
　$\therefore$还需加油$30+60-70=20(L)$。
　答：不加油不能回到县城，至少还需加油20L。