《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (1) 方程$(x - 1)^2 = 4$的解为$x_{1}=3,x_{2}=-1$.
(2) 用直接开方法解方程：$x^2 - 2x + 1 = 4$.
$(x-1)^{2}=4,$
$x-1=\pm 2,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1.$

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=-1$
(2)$(x-1)^{2}=4,$
$x-1=\pm 2,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1.$

(1) $x^2 + 10x +$25$=(x +$5$)^2$.
(2) $x^2 - 12x +$36$=(x -$6$)^2$.
(3) $x^2 + 5x +$$\frac {25}{4}$$=(x +$$\frac {5}{2}$$)^2$.
(4) $x^2 - \frac{2}{3}x +$$\frac {1}{9}$$=(x -$$\frac {1}{3}$$)^2$.

答案：
(1)25 5
(2)36 6
(3)$\frac {25}{4}$ $\frac {5}{2}$
(4)$\frac {1}{9}$ $\frac {1}{3}$

二、课堂导学
知识点1 当“$a = 1$，$b$为偶数”时，两边同加上$(\frac{b}{2})^2$
【例1】用配方法解一元二次方程：
(1) $x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2) $x^2 - 8x + 1 = 0$.
【变式1】用配方法解一元二次方程：
(1) $x^2 - 4x + 3 = 0$；
(2) $x^2 + 6x + 4 = 0$.

答案： 【例1】解：
(1)$x^{2}+10x=-9,$
$x^{2}+10x+25=-9+25,$
$(x+5)^{2}=16,$
$x+5=\pm 4,$
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=-9.$
(2)$x^{2}-8x=-1,$
$x^{2}-8x+16=-1+16,$
$(x-4)^{2}=15,$
$x-4=\pm \sqrt {15},$
$\therefore x_{1}=4+\sqrt {15},x_{2}=4-\sqrt {15}.$
【变式1】解：
(1)$x^{2}-4x=-3,$
$x^{2}-4x+4=-3+4,$
$(x-2)^{2}=1,$
$x-2=\pm 1,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=1.$
(2)$x^{2}+6x=-4,$
$x^{2}+6x+9=-4+9,$
$(x+3)^{2}=5,$
$x+3=\pm \sqrt {5},$
$\therefore x_{1}=-3+\sqrt {5},x_{2}=-3-\sqrt {5}.$

【例2】用配方法解一元二次方程：
$x^2 - x - \frac{7}{4} = 0$.
【变式2】用配方法解一元二次方程：
$x^2 - 3x + 2 = 0$.

答案： 【例2】解：$x^{2}-x=\frac {7}{4},$
$x^{2}-x+\frac {1}{4}=\frac {7}{4}+\frac {1}{4},$
$(x-\frac {1}{2})^{2}=2,$
$x-\frac {1}{2}=\pm \sqrt {2},$
$\therefore x_{1}=\frac {1}{2}+\sqrt {2},x_{2}=\frac {1}{2}-\sqrt {2}.$
【变式2】解：$x^{2}-3x=-2,$
$x^{2}-3x+\frac {9}{4}=-2+\frac {9}{4},$
$(x-\frac {3}{2})^{2}=\frac {1}{4},$
$x-\frac {3}{2}=\pm \frac {1}{2},$
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=1.$