《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【变式2】用十字相乘法解下列方程:
(1)$2x^{2}+3x+1=0$; (2)$3x^{2}-7x+2=0$; (3)$3x^{2}+x-24=0$.

答案： 【变式2】解:
(1)$ (x+1)(2x+1)=0 $，
$ x+1=0 $，或$ 2x+1=0 $，
$ \therefore x_{1}=-1,x_{2}=-\frac{1}{2} $.
(2)$ (3x-1)(x-2)=0 $，
$ 3x-1=0 $，或$ x-2=0 $，
$ \therefore x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=2 $.
(3)$ (3x-8)(x+3)=0 $，
$ 3x-8=0 $，或$ x+3=0 $，
$ \therefore x_{1}=\frac{8}{3},x_{2}=-3 $.

1. 解下列方程:
(1)$x^{2}+x-2=0$; (2)$2x^{2}-35x+150=0$.

答案： 解:
(1)$ (x+2)(x-1)=0 $，
$ x+2=0 $，或$ x-1=0 $，
$ \therefore x_{1}=-2,x_{2}=1 $.
(2)$ (2x-15)(x-10)=0 $，
$ 2x-15=0 $，或$ x-10=0 $，
$ \therefore x_{1}=\frac{15}{2},x_{2}=10 $.

2. 三角形的两边长分别为3和6,第三边长为方程$x^{2}-7x+10=0$的一个根,则这个三角形的周长为14.

答案： 14

3. 解方程$(x^{2}-1)^{2}-2(x^{2}-1)=0$时,我们将$x^{2}-1$作为一个整体.
设$x^{2}-1=y$,则原方程可化为$y^{2}-2y=0$. 解得$y_{1}=0,y_{2}=2$.
当$y=0$时,$x^{2}-1=0$,解得$x=1$或$x=-1$;
当$y=2$时,$x^{2}-1=2$,解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$.
∴原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$.
根据材料中解方程的方法,求方程$(x^{2}+2x)^{2}-2(x^{2}+2x)-3=0$的解.

答案： 解:设$ x^{2}+2x=m $，则原方程可化为$ m^{2}-2m-3=0 $，
$ \therefore (m-3)(m+1)=0 $.
$ \therefore m-3=0 $或$ m+1=0 $，
解得$ m=3 $或$ m=-1 $.
当$ m=3 $时，$ x^{2}+2x=3 $，即$ x^{2}+2x-3=0 $，
$ \therefore (x+3)(x-1)=0 $，
解得$ x_{1}=-3,x_{2}=1 $;
当$ m=-1 $时，$ x^{2}+2x=-1 $，即$ x^{2}+2x+1=0 $，
$ \therefore (x+1)^{2}=0 $，
解得$ x_{3}=x_{4}=-1 $.
综上所述，原方程的解为$ x_{1}=-3,x_{2}=1,x_{3}=x_{4}=-1 $.