《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】(北师教材九上P120T7)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，DE//BC，AD=3BD，$S_{△ABC}=48，$求$S_{△ADE}。$
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答案： 解：
∵ $ AD = 3BD $，
∴ $ \frac{AD}{AB} = \frac{3}{4} $。
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $。
∴ $ \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = \frac{9}{16} $。
∵ $ S_{\triangle ABC} = 48 $，
∴ $ S_{\triangle ADE} = 27 $。

【变式1】(多维原创)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC上的一点。若BD=2，AB=4，BC=8，求证：AD是△ABC的高。
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答案： 证明：
∵ $ AB = 4 $，$ BC = 8 $，$ BD = 2 $，
∴ $ \frac{BD}{AB} = \frac{AB}{BC} $。
∵ $ \angle B = \angle B $，
∴ $ \triangle ABD \backsim \triangle CBA $。
∴ $ \angle BDA = \angle BAC = 90^{\circ} $。
∴ $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高。

【例2】如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长。
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答案： 解：设正方形零件的边长为 $ x $ mm，则 $ AK = AD - x = (80 - x) $ mm。
∵ 四边形 $ EFGH $ 是正方形，
∴ $ EH // FG $。
∴ $ \triangle AEH \backsim \triangle ABC $。
∴ $ \frac{EH}{BC} = \frac{AK}{AD} $，即 $ \frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80} $，
解得 $ x = 48 $。
答：这个正方形零件的边长为 $ 48 $ mm。

【变式2】如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直放置，刻度尺上的18个单位长度(即18m)恰好遮住电线杆。已知手臂长约60cm，求电线杆的高度。
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答案：
解：如图，过点 $ A $ 作 $ AN \perp EF $ 于点 $ N $，交 $ BC $ 于点 $ M $。

∵ $ BC // EF $，
∴ $ AM \perp BC $，$ \triangle ABC \backsim \triangle AEF $。
∴ $ \frac{BC}{EF} = \frac{AM}{AN} $。
∵ $ AM = 0.6 $ m，$ AN = 30 $ m，$ BC = 0.18 $ m，
∴ $ EF = \frac{BC \cdot AN}{AM} = \frac{0.18 × 30}{0.6} = 9 $ (m)。
答：电线杆的高度为 $ 9 $ m。