《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$AD$和$A'D'$是它们的对应角平分线. 若$AD = 8\mathrm{cm}$，$A'D' = 3\mathrm{cm}$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$对应高的比为$8:3$.

答案： $ 8:3 $

2. 如图，$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$AD$，$BE$分别是$\triangle ABC$的高和中线，$A'D'$，$B'E'$分别是$\triangle A'B'C'$的高和中线，且$AD = 4$，$A'D' = 3$. 若$BE = 6$，则$B'E'$的长为$\frac{9}{2}$.

答案： $ \frac{9}{2} $

3. 如图是小孔成像原理的示意图，已知蜡烛$AB$的长度为$9\mathrm{cm}$. 若点$O$到$AB$的距离是$18\mathrm{cm}$，点$O$到$CD$的距离是$6\mathrm{cm}$，则像$CD$的长为3$\mathrm{cm}$.

答案： $ 3 $

4. （北师教材九上P108T3）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$D$，$E$分别是边$AC$和$AB$上的点，且$\angle ADE = \angle B$，$DE = 2$，求$AD \cdot BC$的值.
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答案： 解:$\because \angle ADE = \angle B $, $ \angle A = \angle A $,
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC $.
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} $.
$\therefore AD \cdot BC = DE \cdot AB = 2 × 5 = 10 $.

5. 如图，一块材料的形状是锐角三角形$ABC$，边$BC$长为$13\mathrm{cm}$，边$BC$上的高$AD$为$6\mathrm{cm}$，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上.
（1）求证：$\triangle AEF \backsim \triangle ABC$.
（2）求这个正方形零件的边长.
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答案： 解:
(1)证明:$\because$ 四边形 $ EGFH $ 是正方形,
$\therefore EF // BC $.
$\therefore \triangle AEF \backsim \triangle ABC $.
(2)设 $ EG = EF = x $.
$\because \triangle AEF \backsim \triangle ABC $,
$\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD} $.
$\therefore \frac{x}{13} = \frac{6 - x}{6}$, 解得 $ x = \frac{78}{19} $.
答:正方形零件的边长为 $ \frac{78}{19} \text{ cm} $.