《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【变式 2】如图，用长为 $ 18 \mathrm { m } $ 的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙的矩形苗圃，其中水平的墙长为 $ 8 \mathrm { m } $，竖直的墙足够长.
(1) 设矩形平行于竖直的墙的边的长为 $ x \mathrm { m } $，面积为 $ y \mathrm { m } ^ { 2 } $，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 当 $ x $ 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少?
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课堂总结：实际问题求最值的步骤：
(1) 列出函数关系式(要化为一般式)； (2) 求自变量的取值范围；
(3) 求出对称轴或配方为顶点式； (4) 根据自变量的取值范围确定最值.

答案： 解：
(1)由题意知矩形的另一边长为$(18 - x)$m，
则$y = x(18 - x) = -x^2 + 18x$．
$\because 0 ＜ 18 - x \leq 8$，
$\therefore$自变量$x$的取值范围是$10 \leq x ＜ 18$．
(2)$y = -x^2 + 18x = -(x - 9)^2 + 81$．
$\because -1 ＜ 0$，且对称轴为直线$x = 9$，
$\therefore$当$x \geq 10$时，$y$随$x$的增大而减小．
$\therefore$当$x = 10$时，$y$最大，最大值为 80．
答：当$x = 10$时，所围苗圃的面积最大，最大面积为$80 m^2$．

1. 如图，点 $ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 分别位于正方形 $ A B C D $ 的四条边上，四边形 $ E F G H $ 也是正方形，已知 $ A B = 4 $，求正方形 $ E F G H $ 的最小面积.
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答案： 解：$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore EH = GH$．
$\because \angle AHE + \angle DHG = \angle DGH + \angle DHG = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AHE = \angle DGH$．
在$\triangle AHE$和$\triangle DGH$中，
$\begin{cases}\angle AHE = \angle DGH, \\\angle A = \angle D, \\EH = HG\end{cases}$
$\therefore \triangle AHE \cong \triangle DGH(AAS)$．
$\therefore AE = DH$．
设$AE = x$．
$\because$正方形$ABCD$的边长$AB = 4$，
$\therefore AH = 4 - x$．
$\therefore EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (4 - x)^2 = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x - 2)^2 + 8$，
即正方形$EFGH$的面积$S = 2(x - 2)^2 + 8$．
$\therefore$当$AE = 2$时，正方形$EFGH$的面积最小，最小面积是 8．

2. (数形结合) 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ \angle B = 90 ^ { \circ } $，$ A B = 12 \mathrm { mm } $，$ B C = 24 \mathrm { mm } $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ A B $ 向点 $ B $ 以 $ 2 \mathrm { mm } / \mathrm { s } $ 的速度移动，动点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ B C $ 向点 $ C $ 以 $ 4 \mathrm { mm } / \mathrm { s } $ 的速度移动. 已知 $ P $，$ Q $ 两点分别从 $ A $，$ B $ 两点同时出发.
(1) 求 $ \triangle P B Q $ 的面积关于运动时间的函数解析式.
(2) 求 $ \triangle P B Q $ 面积最大值.
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答案： 解：
(1)设$t$ s 时，$\triangle PBQ$的面积为$S$ $mm^2$．
根据题意，得$S = \frac{1}{2}BP \cdot BQ$
$= \frac{1}{2}(12 - 2t) × 4t$
$= 24t - 4t^2(0 ＜ t ＜ 6)$．
$\therefore S$关于$t$的函数解析式为$S = 24t - 4t^2(0 ＜ t ＜ 6)$．
(2)$\because S = 24t - 4t^2 = -4(t - 3)^2 + 36$，
$\therefore$当$t = 3$时，$\triangle PBQ$的面积有最大值，为$36 mm^2$．