《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y = x^2$向右平移2个单位长度得到的抛物线的解析式为$y = (x - 2)^2$；抛物线$y = x^2$向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为$y = x^2 + 1$。

答案： $y = (x - 2)^2$ $y = x^2 + 1$

2. 猜想：抛物线$y = x^2$向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式是什么呢？

答案： $y = (x - 2)^2 + 1$

3. 在下面的平面直角坐标系中画出$y = (x - 2)^2 + 1$和$y = (x + 1)^2 - 2$的图象。

观察图象填空：
(1) 抛物线$y = x^2$向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度得到抛物线$y = (x - 2)^2 + 1$。
(2) 抛物线$y = x^2$向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度得到抛物线$y = (x + 1)^2 - 2$。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = (x - 2)^2 + 1$ | | | |
| $y = (x + 1)^2 - 2$ | | | |

答案：
$y = (x + 1)^2 - 2$

(1)右 2 上 1
(2)左 1 下 2
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = (x - 2)^2 + 1$ | 向上 | 直线$x = 2$ | $(2,1)$ |
| $y = (x + 1)^2 - 2$ | 向上 | 直线$x = -1$ | $(-1,-2)$ |

二、课堂导学
知识点1 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象与性质
抛物线$y = ax^2 \xrightarrow[\text{上下平移}]{\text{左右平移}}$抛物线$y = a(x - h)^2 + k$
| $h$决定左右平移 | $k$决定上下平移 | $a$决定开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 左$+$ | 上$+$ | $a ＞ 0$，开口向上 | 直线$x = h$ | $(h,k)$ |
| 右$-$ | 下$-$ | $a ＜ 0$，开口向下 | 直线$x = h$ | $(h,k)$ |
【例1】将抛物线$y = 2(x - 1)^2$向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式是（A）
A. $y = 2(x - 3)^2 - 2$
B. $y = 2(x - 3)^2 + 2$
C. $y = 2(x + 1)^2 - 2$
D. $y = 2(x + 1)^2 + 2$
【变式1】(1) 抛物线$y = 3x^2$先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线的解析式为$y = 3(x + 2)^2 + 5$；
(2) 抛物线$y = -3(x - 4)^2 + 1$先向下平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为$y = -3(x - 9)^2$。
【例2】关于二次函数$y = 2(x - 3)^2 + 1$的图象有下列说法，其中正确结论的序号是④。
①开口向下；
②对称轴为直线$x = -3$；
③顶点坐标为$(3, -1)$；
④当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小；
⑤可由抛物线$y = 2x^2$先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到。
【变式2】对于二次函数$y = -4(x + 6)^2 - 5$的图象，下列说法正确的是（A）
A. 函数的最大值为$-5$
B. 对称轴是直线$x = 6$
C. 顶点坐标为$(-6, 5)$
D. 当$x ＜ -6$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： 上 下 直线$x = h$ $(h,k)$
【例1】A
【变式1】
(1)$y = 3(x + 2)^2 + 5$
(2)$y = -3(x - 9)^2$
【例2】④ 【变式2】A