《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例 2】(北师教材九上 P52 例 1 改编)如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C.小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛 F 位于 BC 的中点.一艘军舰从 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一艘补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,则相遇时补给船航行了多少海里? (结果精确到 0.1 n mile)
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答案：
解:
(1)如图,连接DF。

由题意,得AB = BC = 200n mile。
∵点D位于AC的中点，点F位于BC 的中点，
∴DF是△ABC的中位线。
∴DF = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×200 = 100(n mile)$。
答:小岛D和小岛F相距100n mile。
(2)设相遇时补给船航行了xn mile,则DE = xn mile,AB + BE = 2x n mile。
由题意，得AB⊥BC。
由
(1),得DF是△ABC的中位线
∴DF//AB。
∴DF⊥BC。
∴∠DFE = 90°。
∵点F位于BC的中点，
∴CF = $\frac{1}{2}BC = 100n mile$。
∴EF = AB + BC - (AB + BE) - CF = (300 - 2x)n mile。
在Rt△DEF中,由勾股定理，
得x² = 100² + (300 - 2x)²,
解得x₁ = 200 - $\frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 118.4$,
x₂ = 200 + $\frac{100\sqrt{6}}{3}$(不符合题意，舍去)。
答:相遇时补给船航行了118.4n mile。

【变式 2】(北师教材九上 P57T18)某军舰以 20 kn 的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以 30 kn 的速度由南向北航行,它能侦察出周围 50 n mile(包括 50 n mile)范围内的目标. 如图所示,当该军舰行至 A 处时,电子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处,且 AB=90 n mile. 如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰? 如果能,最早何时能侦察到? 如果不能,请说明理由.
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答案： 解:能.设侦察船最早由B出发经过xh侦察到军舰。
根据题意,得(90 - 30x)² + (20x)² = 50²,
解得x₁ = 2,x₂ = $\frac{28}{13}$。
∴当经过2h至$\frac{28}{13}$h时，侦察船能侦察到这艘军舰。
答:最早再过2h能侦察到。

三、课堂评价
(北师教材九上 P58T20)如图,一次函数 y=-2x+3 的图象交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,点 P 在线段 AB 上(不与点 A,B 重合),过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线,垂足为 C,D.点 P 在何处时,矩形 OCPD 的面积为 1?
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答案： 解:
∵点P在一次函数y = -2x + 3的图象上,
∴设点P(a, -2a + 3)(a＞0)。
由题意,得a(-2a + 3) = 1,
整理,得2a² - 3a + 1 = 0,
解得a₁ = 1,a₂ = $\frac{1}{2}$。
∴ -2a + 3 = 1或 -2a + 3 = 2。
综上所述,当点P的坐标为(1,1)或($\frac{1}{2}$,2)时，矩形OCPD的面积为1。