《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图1、图2，梯子AB和EF哪个更陡？我们通常用梯子与地面、墙面构成的直角三角形中竖直高度与水平距离的比来衡量，请分别求出这个比值：$\frac{AC}{BC}=$2.5，$\frac{DE}{DF}=$2.
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答案： 2.5 2

2. 如图，梯子斜靠在墙上，构成了$Rt\triangle AB_{1}C_{1}$和$Rt\triangle AB_{2}C_{2}$. 那么$\frac{B_{1}C_{1}}{AC_{1}}$和$\frac{B_{2}C_{2}}{AC_{2}}$有什么关系？请说明理由？
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| | 正切 | 图形 |
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| 定义 | $∠A$的对边与邻边的比叫做$∠A$的正切，记作$\tan A$. 即$\tan A=\frac{( ∠A的对边 )}{( ∠A的邻边 )}=\frac{a}{b}$. |! |
| 注意事项 | 正切值是一个比值，它随着角度的变化而变化，角度越大，比值越大，角度一定，比值就固定了，即正切值与锐角的大小有关，与锐角所在的三角形无关. | |
| 性质 | $\tan A$的值越大，梯子越陡. | |


解：$\frac {B_{1}C_{1}}{AC_{1}}=\frac {B_{2}C_{2}}{AC_{2}}$，理由如下：
根据题意，得$∠B_{1}C_{1}A = ∠B_{2}C_{2}A = 90^{\circ}$。
又$\because ∠B_{1}AC_{1} = ∠B_{2}AC_{2}$，
$\therefore △B_{1}AC_{1} \backsim B_{2}AC_{2}$。
$\therefore \frac {B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac {AC_{1}}{AC_{2}}$。
$\therefore \frac {B_{1}C_{1}}{AC_{1}}=\frac {B_{2}C_{2}}{AC_{2}}$。

答案： 解：$\frac {B_{1}C_{1}}{AC_{1}}=\frac {B_{2}C_{2}}{AC_{2}}$，理由如下：
根据题意，得$∠B_{1}C_{1}A = ∠B_{2}C_{2}A = 90^{\circ}$。
又$\because ∠B_{1}AC_{1} = ∠B_{2}AC_{2}$，
$\therefore △B_{1}AC_{1} \backsim B_{2}AC_{2}$。
$\therefore \frac {B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac {AC_{1}}{AC_{2}}$。
$\therefore \frac {B_{1}C_{1}}{AC_{1}}=\frac {B_{2}C_{2}}{AC_{2}}$。
对边 邻边 $\frac {∠A的对边}{∠A的邻边}$ 大小 陡

【例1】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$BC=6$，$AB=10$，求$\tan A$和$\tan B$.
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答案： 解：$\because ∠C = 90^{\circ}$，$BC = 6$，$AB = 10$，
$\therefore AC = \sqrt {AB^{2}-BC^{2}} = 8$。
$\therefore \tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {6}{8}=\frac {3}{4}$，
$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {8}{6}=\frac {4}{3}$。

【变式1】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，求$\tan A$和$\tan B$的值.
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答案： 解：$\because ∠C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AB = 13$，
$\therefore AC = \sqrt {13^{2}-5^{2}} = 12$。
$\therefore \tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {5}{12}$，$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {12}{5}$。

【例2】（北师教材九下P3例1改编）如图，甲、乙两个自动扶梯，乙自动扶梯比较陡.（填“甲”或“乙”）
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答案： 乙

【变式2】如图，下面四个梯子最陡的是（B）
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答案： B