《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是正方形.
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答案： 证明$:$
∵点$E,F,G,H$分别为$AB，$$BC,CD,DA$的中点，　　
$　$
∴$HG\frac{1}{2}AC，$$EF\frac{1}{2}AC，$$EH\frac{1}{2}BD.$　　
$　$
∴$HGEF.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是平行四边形$.$　　
$　$又
∵$AC⊥BD，$$AC=BD,$　　
$　$
∴$EH⊥EF，$$EH=EF.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是正方形$.$　　

【变式3】如图，在正方形ABCD中，顺次连接各边中点E，F，G，H构成一个四边形EFGH. 求证：四边形EFGH是正方形.
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课堂总结：

答案：
证明$:$如图，连接$AC,BD.$　　
　　　　$ $　　
$　$
∵点$E,F,G,H$分别为正方形四边的中点，　　
$　$
∴$HG\frac{1}{2}AC，$$EF\frac{1}{2}AC，$$EH\frac{1}{2}BD.$　　
$　$
∴$HGEF.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是平行四边形$.$　　
$　$
∵四边形$ABCD$是正方形，　　
$　$
∴$AC⊥BD，$$AC=BD.$　　
$　$
∴$EH⊥EF，$$EH=EF.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是正方形$.$　　

|四边形|普通四边形|平行四边形|对角线相等的四边形(如矩形)|对角线垂直的四边形(如菱形)|对角线相等且垂直的四边形(如正方形)|
|----|----|----|----|----|----|
|中点四边形的形状|平行四边形|平行四边形|菱形|矩形|正方形|

答案： 平行四边形　平行四边形　菱形　矩形　正方形

1. 如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于O，点F，G分别为BO，CO的中点.
(1)求证：四边形EFGD是平行四边形.
(2)若△ABC的面积为12. 求四边形EFGD的面积.
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答案： 解：$（1）$证明：
∵点$F，$$G$分别是$OB，$$OC$的中点，　　
$　$
∴$FG\frac{1}{2}BC.$　　
$　$又
∵点$E，$$D$是$AB，$$AC$的中点，　　
$　$
∴$DE\frac{1}{2}BC.$　　
$　$
∴$DEFG.$　　
$　$
∴四边形$EFGD$是平行四边形$.$　　
$　（2）$
∵$DE，$$BD$分别是$△ABD，$$△ABC$的中线，　　
$　$
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{4}S_{△ABC}=\frac{1}{4}×12=3.$　　
$　$
∵四边形$EFGD$是平行四边形，点$F$为$BO$的中点，　　
$　$
∴$OD=OF=BF.$　　
$　$
∴$S_{△EBF}=S_{△EFO}=S_{△EOD}=\frac{1}{3}S_{△BDE}=\frac{1}{3}×3=1.$　　
$　$
∴$S_{△GOF}=S_{△GDO}=S_{△EFO}=S_{△EDO}=\frac{1}{3}S_{△BDE}=1.$　　
$　$
∴$S_{▱EFGD}=4S_{△EFO}=4.$　　

2. 如图，在矩形ABCD中，AD=8，CD=20，点P是AB上的一动点，点M，N，E分别是PD，PC，CD的中点.
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形.
(2)当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？请说明理由.
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答案： 解：（1）证明：
∵点M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴ME//PC，EN//PD.
∴四边形PMEN是平行四边形.
　（2）当AP=10时，四边形PMEN是菱形.
　理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=20，AD=BC，∠A=∠B=90°.
∵AP=10，AB=20，
∴BP=10=AP.
∴Rt△APD≌Rt△BPC.
∴PD=PC.
∵点M，N，E分别是PD，PC，DC的中点，
∴NE=PM=$\frac{1}{2}$PD，ME=PN=$\frac{1}{2}$PC.
∴PM=PN=ME=NE.
∴四边形PMEN是菱形.