《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=2$，求$\frac {AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}$的值.
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结论：如果两个图形的边长的比相等，那么它们的周长的比等于边长的比.

解: 依题意, 得 $ AB = 2A'B' $, $ BC = 2B'C' $, $ AC = 2A'C' $.
$ \therefore \frac{AB + BC + AC}{A'B' + B'C' + A'C'} = 2 $.'

答案： 解: 依题意, 得 $ AB = 2A'B' $, $ BC = 2B'C' $, $ AC = 2A'C' $.
$ \therefore \frac{AB + BC + AC}{A'B' + B'C' + A'C'} = 2 $.
结论: 等于边长的比

2. 思考：如果$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {e}{f}(b+d+f≠0)$，那么$\frac {a+c+e}{b+d+f}=\frac {a}{b}$成立吗？为什么？

答案： 解: $ \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a}{b} $ 成立. 理由如下:
设 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k $, 则 $ a = bk $, $ c = dk $, $ e = fk $.
$ \therefore \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{bk + dk + fk}{b + d + f} = k = \frac{a}{b} $.

【例1】（北师教材九上P80随堂练习改编）已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {2}{3}(b+d≠0)$，则$\frac {a+c}{b+d}=$$\frac{2}{3}$.

答案： $ \frac{2}{3} $

【变式1】（北师教材九上P81T1改编）已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {e}{f}=\frac {2}{3}(b+d+f≠0)$，则$\frac {a+c+e}{b+d+f}=$$\frac{2}{3}$.

答案： $ \frac{2}{3} $

【例2】（北师教材九上P80例2）在$\triangle ABC$与$\triangle DEF$中，已知$\frac {AB}{DE}=\frac {BC}{EF}=\frac {CA}{FD}=\frac {3}{4}$，且$\triangle ABC$的周长为18 cm，求$\triangle DEF$的周长.

答案： 解: $ \because \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{3}{4} $,
$ \therefore \frac{AB + BC + AC}{DE + EF + FD} = \frac{18}{DE + EF + FD} = \frac{3}{4} $.
$ \therefore DE + EF + FD = 24 \text{ cm} $.
$ \therefore \triangle DEF $ 的周长为 24 cm.

【变式2】在$\triangle ABC$和$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\frac {AB}{A_{1}B_{1}}=\frac {BC}{B_{1}C_{1}}=\frac {CA}{C_{1}A_{1}}=\frac {3}{5}$，且$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的周长是50，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解: $ \because \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{3}{5} $,
$ \therefore \frac{AB + BC + AC}{A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1} $
$ = \frac{AB + BC + AC}{50} $
$ = \frac{3}{5} $.
$ \therefore AB + BC + AC = 30 $.
$ \therefore \triangle ABC $ 的周长为 30.