《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=$$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$b^{2}-4ac≥0.$

答案： 解：$x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$，
$x^{2}+\frac {b}{a}x=-\frac {c}{a}$，
$x^{2}+\frac {b}{a}x+(\frac {b}{2a})^{2}=-\frac {c}{a}+(\frac {b}{2a})^{2}$，
$(x+\frac {b}{2a})^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$，
$x+\frac {b}{2a}=\pm \frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$．
$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 用公式法解一元二次方程：$3x^{2}+2x-1=0.$
解：$a=$3，$b=$2，$c=$-1，
$\Delta =b^{2}-4ac=$$2^{2}-4×3×(-1)$$=$16$＞0.$
$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=$$\frac {-2\pm \sqrt {16}}{2×3}$$=$$\frac {-2\pm 4}{6}$，即$x_{1}=$$\frac {1}{3}$，$x_{2}=$-1.

答案： 3 2 -1 $2^{2}-4×3×(-1)$ 16 $\frac {-2\pm \sqrt {16}}{2×3}$ $\frac {-2\pm 4}{6}$ $\frac {1}{3}$ -1

二、课堂导学
知识点1 当$b^{2}-4ac＞0$时，方程有两个不等的实数根
【例1】解方程：$x^{2}-4x-7=0.$
【变式1】解方程：$2x^{2}+1=3x.$

答案： 【例1】$\because a=1,b=-4,c=-7$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-7)=44＞0$．
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-(-4)\pm \sqrt {44}}{2×1}$．
$\therefore x_{1}=2+\sqrt {11},x_{2}=2-\sqrt {11}$．
【变式1】解：$\because a=2,b=-3,c=1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×1=1＞0$．
$\therefore x=\frac {3\pm \sqrt {1}}{2×2}=\frac {3\pm 1}{4}$．
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=\frac {1}{2}$．

【例2】解方程：$3x^{2}+2x+1=0.$

答案： 解：$\because a=3,b=2,c=1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×1=-8＜0$．
$\therefore$ 方程无实数根．

【变式2】解方程：$2x^{2}+x+3=0.$

答案： 解：$\because a=2,b=1,c=3$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×3=-23＜0$．
$\therefore$ 方程无实数根．