《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

| | 象限 | 增减性 | 几何语言$[(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$在图象上] |
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| $k＞0$ | 一、三 | 在每一支上，$y$随$x$的增大而减小. | $\because x_{1}＞x_{2}＞0$或$x_{1}＜x_{2}＜0$，$\therefore y_{1}$＜$y_{2}$或$y_{1}$＞$y_{2}$. |
| $k＜0$ | 二、四 | 在每一支上，$y$随$x$的增大而增大. | $\because x_{1}＞x_{2}＞0$或$x_{1}＜x_{2}＜0$，$\therefore y_{1}$＞$y_{2}$或$y_{1}$＜$y_{2}$. |

答案： (从上到下)一、三 减小 ＜ ＞ 二、四 增大 ＞ ＜

2. (1)函数$y=\frac{10}{x}$的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小.
(2)函数$y=-\frac{10}{x}$的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大.

答案：
(1)一、三 减小
(2)二、四 增大

【例1】若点$A(1,y_{1})$，$B(2,y_{2})$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$的大小关系是(B)
A. $y_{2}＜0＜y_{1}$
B. $0＜y_{2}＜y_{1}$
C. $y_{1}＜0＜y_{2}$
D. $y_{1}＜y_{2}＜0$

答案： B

【变式1】若点$A(-2,y_{1})$，$B(\frac{1}{2},y_{2})$在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象上，则$y_{1}$____$y_{2}$. (填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： ＞

【例2】已知点$A(x_{1},y_{1})$和点$B(x_{2},y_{2})$在双曲线$y=\frac{m^{2}+1}{x}$上，且$x_{1}＞x_{2}＞0$，则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系为____.

答案： $y_{1}＜y_{2}$

【变式2】已知点$A(a,y_{1})$，$B(a+1,y_{2})$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点，若当$a＞0$时，均有$y_{1}＜y_{2}$，则$k$的取值范围是$k＜0$.

答案： $k＜0$

【例3】已知反比例函数$y=-\frac{8}{x}$，当$-4\leqslant x\leqslant -2$时，求$y$的取值范围.

答案： 解:
∵反比例函数为$y=-\frac {8}{x},-8＜0,$
∴其函数图象分布在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
当$x=-2$时,$y=4$;当$x=-4$时,$y=2,$
∴当$-4≤x≤-2$时,y的取值范围是$2≤y≤4.$

【变式3】已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，当$1＜y\leqslant 3$时，求$x$的取值范围.

答案： 解:
∵反比例函数为$y=\frac {6}{x},6＞0,$
∴在每个象限内,y随x的增大而减小.
∴当$1＜y≤3$时,x的取值范围是$2≤x＜6.$