《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】(北师教材九上P83例题改编)如图，在$ \triangle A B C $中，点$ E $，$ F $分别是$ A B $和$ A C $上的点，且$ E F // B C $。
(1) 若$ A E = 6 $，$ B E = 3 $，$ C F = 2 $，则$ A F = $4。
(2) 若$ A B = 10 $，$ A E = 6 $，$ A F = 5 $，求$ F C $的长。

解：(2)$\because AB=10$，$AE=6$，$\therefore BE=4$。$\because EF// BC$，$\therefore \frac {AE}{BE}=\frac {AF}{FC}$，即$\frac {6}{4}=\frac {5}{FC}$。$\therefore FC=\frac {10}{3}$。

答案： 解：
(1)4
(2)$\because AB=10$，$AE=6$，
$\therefore BE=4$。
$\because EF// BC$，
$\therefore \frac {AE}{BE}=\frac {AF}{FC}$，即$\frac {6}{4}=\frac {5}{FC}$。
$\therefore FC=\frac {10}{3}$。

【变式2】(多维原创)如图，$ A C $与$ B D $相交于点$ O $，且$ A B // C D $，$ \frac { O A } { O C } = \frac { 2 } { 3 } $。
(1) 若$ O B = 4 $，则$ O D = $6。
(2) 若$ B D = 15 $，求$ O B $的长。

解：$\because AB// CD$，$\frac {OA}{OC}=\frac {2}{3}$，
$\therefore \frac {OB}{OD}=\frac {OA}{OC}=\frac {2}{3}$。
$\therefore \frac {OB}{15-OB}=\frac {2}{3}$。
解得$OB=6$。

答案： 解：
(1)6
(2)$\because AB// CD$，$\frac {OA}{OC}=\frac {2}{3}$，
$\therefore \frac {OB}{OD}=\frac {OA}{OC}=\frac {2}{3}$。
$\therefore \frac {OB}{15-OB}=\frac {2}{3}$。
解得$OB=6$。

1. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点$ A $，$ B $，$ C $都在横线上，若线段$ B C = 4 \mathrm { ~cm } $，则线段$ A C $的长是 (C)
A. $ 4 \mathrm { ~cm } $
B. $ 5 \mathrm { ~cm } $
C. $ 6 \mathrm { ~cm } $
D. $ 7 \mathrm { ~cm } $

答案： C

2. 如图，直线$ l _ { 1 } // l _ { 2 } // l _ { 3 } $，另两条直线分别交$ l _ { 1 } $，$ l _ { 2 } $，$ l _ { 3 } $于点$ A $，$ B $，$ C $及点$ D $，$ E $，$ F $。若$ A B = 3 $，$ D E = 4 $，$ E F = 2 $，则$ A C = $4.5。

答案： 4.5

3. 如图，点$ D $，$ E $分别在$ \triangle A B C $的边$ A B $，$ A C $上，$ D E // B C $，$ A D = 4 $，$ B D = 2 $，$ A C = 4.5 $，则$ C E $的长为____1.5。

答案： 1.5

4. (北师教材九上P85T3)如图，在$ \triangle A B C $中，$ D $，$ E $分别是$ A B $和$ B C $上的点，且$ D E // A C $，$ \frac { A B } { B E } = \frac { A C } { E C } $，$ \frac { A B } { A C } = \frac { 5 } { 3 } $，求$ \frac { A B } { B D } $。

答案： 解：$\because \frac {AB}{BE}=\frac {AC}{EC}$，
$\therefore \frac {AB}{AC}=\frac {BE}{EC}=\frac {5}{3}$。
$\because DE// AC$，
$\therefore \frac {AD}{BD}=\frac {EC}{BE}=\frac {3}{5}$。
$\therefore \frac {AB}{BD}=\frac {AD+BD}{BD}=\frac {AD}{BD}+1=\frac {3}{5}+1=\frac {8}{5}$。

5. (北师教材九上P85T4)如图，在$ \triangle A B C $中，$ D $，$ E $，$ F $分别是$ A B $，$ A C $，$ B C $上的点，且$ D E // B C $，$ E F // A B $，$ A D : D B = 2 : 3 $，$ B C = 20 \mathrm { ~cm } $，求$ B F $的长。

答案： 解：$\because DE// BC$，$EF// AB$，
$\therefore$ 四边形$BDEF$是平行四边形。
$\therefore BF=DE$。
$\because AD:DB=2:3$，
$\therefore AD:AB=2:5$。
$\because DE// BC$，
$\therefore DE:BC=AD:AB=2:5$，
即$DE:20=2:5$。
$\therefore DE=8cm$。
$\therefore BF=8cm$。