《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例 3】有一人患了红眼病,经过两轮传染后共有 64 人患病.
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)若不及时控制,按这样的传染速度,三轮传染后患病的共有多少人?

答案： 解：
(1)设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 个人。
根据题意，得 $1 + x + x(1 + x) = 64$，
解得 $x_1 = 7$，$x_2 = -9$（不符合题意，舍去）。
答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人。
(2) $64 + 64×7 = 512$（人）。
答：三轮传染后患病的共有 512 人。

【变式 3】今年下半年以来,猪肉价格不断上涨,主要是由非洲猪瘟疫情导致. 非洲猪瘟疫情发病急,蔓延速度快. 某养猪场第一天发现 3 头生猪发病,两天后发现共有 192 头生猪发病.
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪?
(2)若疫情得不到有效控制,按照这样的传染速度,3 天后生猪发病头数会超过 1 500 头吗?

答案： 解：
(1)设每头发生生猪平均每天传染 $x$ 头生猪。
根据题意，得 $3 + 3x + (3 + 3x)x = 192$，
解得 $x_1 = 7$，$x_2 = -9$（不符合题意，舍去）。
答：每头发生生猪平均每天传染 7 头生猪。
(2) $192×(1 + 7) = 1536$（头），
$1536 ＞ 1500$。
答：若疫情得不到有效控制，3 天后生猪发病头数会超过 1500 头。

1. 某电影一上映就受到观众热捧,第一天票房约 3 亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达 12 亿元,若把增长率记作 x,则方程可以列为$3 + 3(1 + x) + 3(1 + x)^2 = 12$.

答案： $3 + 3(1 + x) + 3(1 + x)^2 = 12$

2. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 91,设每个支干长出 x 个小分支,则可列方程为$1 + x + x^2 = 91$.

答案： $1 + x + x^2 = 91$

3. 为了减轻百姓医疗负担,某制药厂将一种药剂价格逐年降低,2022 年这种药剂价格为 200 元,2024 年该药剂价格为 98 元.
(1)求 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率.
(2)该制药厂计划 2025 年对此药剂继续降价,并要求此种药剂的价格不低于 73.5 元,则此次价格的下降率最多是多少?

答案： 解：
(1)设 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率为 $x$。
根据题意，得 $200(1 - x)^2 = 98$，
解得 $x_1 = 0.3 = 30\%$，$x_2 = 1.7$（不符合题意，舍去）。
答：2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率为 $30\%$。
(2)设此次价格的下降率是 $y$。
根据题意，得 $98(1 - y) \geq 73.5$，
解得 $y \leq 0.25$。
$\therefore y$ 的最大值是 $0.25$，即 $25\%$。
答：此次价格的下降率最多是 $25\%$。