《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？根据矩形的性质知BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC。

答案： $BO=\frac{1}{2}AC$

直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：如图，在Rt△ABC中，
∵点O是AC的中点，
∴$OB=\frac{1}{2}AC$。

答案： 点O是AC的中点
$OB=\frac{1}{2}AC$

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点。
(1)若AC=8，BC=6，则CD=5。
(2)若∠A=35°，则∠BCD=55°。
【变式2】如图，有两条公路AC，BC互相垂直，点C与AB的中点M被湖隔开，若AB的长为10km，则M，C两点间的距离为(B)
A. 2km
B. 5km
C. 10km
D. 20km

答案：
(1)5　
(2)55　[变式2]B

1. 小卓的家乡有一片矩形“油菜花海”，政府决定在矩形油菜花田上建两条如图所示的小路AC，BD，方便游客观赏（不考虑路宽），已知AB=30m，BC=40m，那么两条小路的总长为100m。

答案： 100m

2. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE=AF，连接AE，DE，BF。
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形。
（2）若AF=1，AB=2，AD=$\sqrt{5}$，求证：AE平分∠DEB。
!

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD\underline{\underline{//}}BC$。
∵$CE=AF$，
∴$AF+AD=CE+BC$，即$DF=BE$。
∴$DF// BE$，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠DAB=90^{\circ}$。
∴$∠FAB=90^{\circ}$。
∵$AF=1$，$AB=2$，
∴$BF=\sqrt{AF^{2}+AB^{2}}=\sqrt{5}$。
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴$DF// BE$，$DE=BF=\sqrt{5}$。
∴$∠DAE=∠AEB$，$DE=AD$。
∴$∠DAE=∠DEA$。
∴$∠AEB=∠DEA$，
　即AE平分$∠DEB$。

3. 如图1，在矩形ABCD中，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB，DC于点E，F。
（1）求证：AE=CF。
（2）如图2，若点G为AE的中点，且∠AOG=30°，求证：DC=3OG。
!
!

答案：
证明:
(1)在矩形ABCD中，$CD// AB$，
∴$∠OCF=∠OAE$。
∵点O是AC的中点，
∴$OA=OC$。
∵$∠COF=∠AOE$，
∴$△COF\cong △AOE$。
∴$AE=CF$。
(2)如图2，连接OB。
　　　　　
∵$EF⊥AC$，
∴$△AOE$是直角三角形。
∵点G为AE的中点，
∴$OG=AG=GE$。
∴$∠BAC=∠AOG=30^{\circ}$，$∠AEO=60^{\circ}$。
∴$△OEG$是等边三角形。
∴$OG=OE=GE$。
∵在矩形ABCD中，$OA=OB$，
∴$∠ABO=∠BAC=30^{\circ}$。
∴$∠AOB=120^{\circ}$。
∴$∠BOE=∠AOB - 90^{\circ}=30^{\circ}$。
∴$∠BOE=∠ABO$。
∴$OE=EB$。
∴$OG=AG=GE=EB=OE$。
∴$OG=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}DC$。
∴$DC=3OG$。