《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图，$EF$是一面长为$18m$的墙，用总长为$30m$的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地$ABCD$，中间用木栅栏隔成同样大小的三块小矩形，且在$AB$中间开一道$2m$宽的门.
(1)若要围成的矩形$ABCD$的面积为$60m^{2}$，求$AB$的长.
(2)能围成面积为$72m^{2}$的矩形$ABCD$吗？请说明理由.
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答案：
解：
(1) 如图，设与墙垂直的边 $ AD $ 长为 $ x $ m，则 $ BC = MN = PQ = x $ m，$ AB = 30 - AD - MN - PQ - BC + 2 = ( 32 - 4 x ) $ m．

根据题意，得 $ x ( 32 - 4 x ) = 60 $，
解得 $ x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = 5 $．
当 $ x = 3 $ 时，$ AB = 32 - 4 x = 20 ＞ 18 $，不符合题意，舍去；
当 $ x = 5 $ 时，$ AB = 32 - 4 x = 12 ＜ 18 $，符合题意．
答：$ AB $ 的长为 $ 12 $ m．
(2) 不能围成面积为 $ 72 $ $ m ^ { 2 } $ 的矩形 $ ABCD $．
理由如下：
假设能围成面积为 $ 72 $ $ m ^ { 2 } $ 的矩形 $ ABCD $，
根据题意，得 $ x ( 32 - 4 x ) = 72 $，
整理，得 $ x ^ { 2 } - 8 x + 18 = 0 $．
∵ $ \Delta = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × 18 = - 8 ＜ 0 $，
∴ 此方程无实数根．
∴ 不能围成面积为 $ 72 $ $ m ^ { 2 } $ 的矩形 $ ABCD $．

【变式3】如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个矩形的场地，中间用篱笆分割出$2$个小矩形，与墙平行的一边上各开一扇宽为$1m$的门，总共用去篱笆$34m$.
(1)为了使这个矩形$ABCD$的面积为$96m^{2}$，求$AB$的长.
(2)用这些篱笆，能使围成的矩形$ABCD$的面积是$110m^{2}$吗？说明理由.
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答案： 解：
(1) 设 $ AB $ 的长为 $ x $ m．
根据题意，得 $ x ( 34 + 2 - 3 x ) = 96 $，
解得 $ x _ { 1 } = 4 $，$ x _ { 2 } = 8 $．
答：当 $ AB $ 的长度为 $ 4 $ m 或 $ 8 $ m 时，矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ 96 $ $ m ^ { 2 } $．
(2) 不能．理由如下：
假设矩形 $ ABCD $ 的面积是 $ 110 $ $ m ^ { 2 } $，
根据题意，得 $ x ( 34 + 2 - 3 x ) = 110 $，
整理，得 $ 3 x ^ { 2 } - 36 x + 110 = 0 $，
∵ $ \Delta = ( - 36 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × 110 = - 24 ＜ 0 $，
∴ 该一元二次方程无实数根．
∴ 假设不成立．
答：矩形 $ ABCD $ 的面积不能为 $ 110 $ $ m ^ { 2 } $．

【例4】某食品店平均每天可卖出$300$只粽子，卖出$1$只粽子的利润是$1$元，经调查发现，零售单价每降$0.1$元，每天可多卖出$100$只粽子.为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降$m(0\lt m\lt1)$元.
(1)零售单价下降$0.2$元后，该店平均每天可卖出____只粽子，每天获取的利润为____元.
(2)在不考虑其他因素的条件下，当$m$定为多少时，才能使该店每天获取的利润是$400$元并且卖出的粽子更多？

答案： 解：
(1) $ 500 $ $ 400 $
(2) 根据题意，得 $ ( 1 - m ) ( 300 + 100 × \frac { m } { 0.1 } ) = 400 $，
整理，得 $ 10 m ^ { 2 } - 7 m + 1 = 0 $，
解得 $ m _ { 1 } = 0.2 $，$ m _ { 2 } = 0.5 $．
又
∵ 要求卖出的粽子更多，
∴ $ m = 0.5 $．
答：当 $ m $ 定为 $ 0.5 $ 时，才能使该店每天获取的利润是 $ 400 $ 元并且卖出的粽子更多．

【变式4】某水果店购进一优质水果，进价为$20$元$/kg$，售价不低于$20$元$/kg$，且不超过$32$元$/kg$，同时发现该水果一天的销售量$y(kg)$与该天的售价$x$(元$/kg$)满足下表所示的一次函数关系.
|销售量$/kg$|$\cdots$|$34.8$|$32$|$29.6$|$28$|$\cdots$|
|--|--|--|--|--|--|--|
|售价$/$（元$/kg$）|$\cdots$|$22.6$|$24$|$25.2$|$26$|$\cdots$|
(1)某天这种水果的售价为$23.5$元$/kg$，求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利$150$元，那么该天这种水果的售价为多少？

答案： 解：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的一次函数关系式为 $ y = k x + b $．
根据题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 24 k + b = 32 } \\ { 26 k + b = 28 } \end{array} \right. $，
解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = - 2 } \\ { b = 80 } \end{array} \right. $．
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = - 2 x + 80 $．
当 $ x = 23.5 $ 时，$ y = - 2 x + 80 = 33 $．
答：当天该水果的销售量为 $ 33 $ kg．
(2) 根据题意，得 $ (x - 20)( - 2 x + 80 ) = 150 $，
解得 $ x _ { 1 } = 35 $，$ x _ { 2 } = 25 $．
∵ $ 20 ＜ x ＜ 32 $，
∴ $ x = 25 $．
答：该天水果的售价为 $ 25 $ 元．