《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
如图，点A是河对岸上一点，点A，B，D在一条直线上，点A，C，E在一条直线上，有$AD\perp DE$，$DE// BC$。若$BC=24m$，$BD=12m$，$DE=40m$，求河的宽度AB。
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答案： 解:
∵ $ BC // DE $，
∴ $ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $．
∴ $ \frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD} $，即 $ \frac{24}{40} = \frac{AB}{AB + 12} $，
解得 $ AB = 18 $．
答:河的宽度 $ AB $ 为 $ 18 $ m．

【例1】小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为16m（如图），然后在A处树立一根高3m的标杆，测得标杆的影长AC为4m，则楼高为______m。
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答案： 12

【变式1】如图，某同学在平地上利用标杆测量一棵大树的高度，移动标杆，使标杆、大树顶端的影子恰好落在地面上的同一点A，标杆EC的高为2m，此时测得$BC=3m$，$CA=1m$，则树DB的高度为______m。
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答案： 8

【例2】如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图。点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，且测得$AB=6m$，$BP=9m$，$PD=15m$，求该古城墙的高度。
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答案： 解:根据题意，得 $ \angle APB = \angle CPD $．
∵ $ AB \perp BD $，$ CD \perp BD $，
∴ $ \angle ABP = \angle CDP = 90^\circ $．
∴ $ \triangle ABP \backsim \triangle CDP $．
∴ $ \frac{AB}{CD} = \frac{BP}{DP} $，即 $ \frac{6}{CD} = \frac{9}{15} $，
解得 $ CD = 10 $．
答:该古城墙的高度是 $ 10 $ m．

【变式2】如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.6m，求树高。
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答案：
解:如图所示．

由题意，得 $ \angle BCA = \angle EDA = 90^\circ $，$ \angle BAC = \angle EAD $，
∴ $ \triangle ABC \backsim \triangle AED $．
∴ $ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} $．
设树高 $ x $ m．
则 $ \frac{20 - 5}{5} = \frac{x}{1.6} $，解得 $ x = 4.8 $．
答:树高 $ 4.8 $ m．