《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

(1)将$\triangle ABC$的三个顶点的横、纵坐标都乘2，得到三个点$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$，则$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。
位似.位似中心为点O,相似比为1:2.
(2)如果点$A$，$B$，$C$的横坐标、纵坐标都乘$-2$呢？
位似.位似中心为点O,相似比为1:2.
☆结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。

答案： 解:
(1)位似.位似中心为点O,相似比为1:2.
(2)位似.位似中心为点O,相似比为1:2.结论:位似　坐标原点　　|k|

【例1】在平面直角坐标中，已知点$A(-4,2)$，点$B(-6,-4)$，以原点$O$为位似中心，相似比为2，把$\triangle ABO$放大，则点$B$的对应点$B'$的坐标为（ ）
A. $(-3,-2)$
B. $(-3,-2)$或$(3,2)$
C. $(-12,-8)$
D. $(-12,-8)$或$(12,8)$

答案： D

【变式1】在平面直角坐标系中，已知$A(6,-3)$，$B(3,9)$，连接$OA$，$OB$，$AB$，以原点$O$为位似中心，位似比为$\frac{1}{3}$，把$\triangle OAB$缩小，则点$B$的对应点$B'$的坐标为____。

答案： (1,3)或(−1,−3)

【例2】如图，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$关于原点位似，且点$A(1,0)$，它的对应点$A'(-2,0)$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比是____。
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答案： 1:2

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(-1,3)$，点$C$的坐标为$(-2,6)$，$CD=\sqrt{3}$，则$AB$的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

【例3】如图，已知点$O$是坐标原点，点$A$，$B$的坐标分别为$(3,1)$，$(2,-1)$。在$y$轴的左侧以点$O$为位似中心作$\triangle OAB$的位似$\triangle OCD$，使新图与原图的相似比为$2:1$，并分别写出点$A$，$B$的对应点$C$，$D$的坐标。
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答案：
解:如图所示,△OCD即为所求
C(−6,−2),D(−4,2).
　　　

【变式3】如图，$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-1,-2)$，$B(-3,-1)$，$C(-2,-3)$，以原点$O$为位似中心，在第三象限内，画出$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A'B'C'$，使$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比为$1:2$，并写出点$A'$，$B'$，$C'$的坐标。
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课堂总结：
1. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为$k$，那么与原图形上的点$(x,y)$对应的位似图形上的点的坐标为____或____。
2. 在平面直角坐标系中画位似图形，有两种方法：①利用位似的性质画；②利用位似的坐标变换规律画。

答案：
解:如图,△A'B'C'即为所求.由图可得A'(−2,−4),B'(−6,−2),
C'(−4,−6).
　　　　
课堂总结答案补充：1.(kx,ky)　(−kx,−ky)