《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图，在菱形$ABCD$中，$DE\perp AB$，$BE = 4$，$\cos A = \frac{3}{5}$，求菱形的周长.
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答案： 解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD。
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°。
∴$\cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$。
设AE=3k,则AD=5k。
∴BE=5k−3k=2k=4,解得k=2。
∴AD=10。
∴菱形的周长为$4AD=4× 10=40$。

【变式3】在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$D$是斜边$AC$上一点，$CD = CB$，$AD = 16$，$\sin A = \frac{5}{13}$，求$BC$的长.
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答案： 解:在Rt△ABC中,$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$，即$5AC=13BC$。
∵CA=AD+DC,CD=CB,AD=16,
∴CA=16+CB。
∴$5(16+CB)=13CB$，解得$CB=10$。

三、课堂评价

答案： 答案略

1. 如图，在$4× 5$的网格中，每个小正方形的边长都是1，$\triangle ABC$的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么，$\angle ACB$的正弦值为$\frac{4}{5}$.

答案： $\frac{4}{5}$

2. (北师教材九下P6随堂练习T1)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 16$，求$\cos B$及$\tan B$的值.
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答案：
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D。在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,
BC=16,

∴BD=8。
在Rt△ABD中,AB=10,BD=8,
∴$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$。
∴$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

3. (北师教材九下P7T4)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，$BC = 8$，$CD = 5$，求$\sin \angle ACD$，$\cos \angle ACD$和$\tan \angle ACD$.
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答案： 解:如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°，CD是AB边上的中线,CD=5,
∴AD=5,AB=2CD=10。
∴△ADC是等腰三角形。
∴∠A=∠ACD。
∵BC=8,
∴$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$。
∴$\sin \angle ACD=\sin \angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\cos \angle ACD=\cos \angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\tan \angle ACD=\tan \angle A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$BE$为$AC$边上的中线，过点$E$作$EF\perp BC$，垂足为$F$，已知$BD = 5$，$CD = 6$，$\cos \angle ABC = \frac{5}{13}$.
(1)求$AC$的长.
(2)求$\sin \angle EBF$的值.
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答案： 解:
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中,BD=5,$\cos \angle ABC=\frac{5}{13}=\frac{BD}{AB}$，
∴$AB=5× \frac{13}{5}=13$。由勾股定理，得$AD=12$。
在Rt△ACD中,$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6\sqrt{5}$。
(2)
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴EF//AD。
∵BE为AC边上的中线,
∴EF为△ACD的中位线。
∴$EF=\frac{1}{2}AD=6$，$DF=\frac{1}{2}CD=3$。
∴$BF=5+3=8$。
在Rt△BEF中,由勾股定理，得$BE=\sqrt{EF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
∴$\sin \angle EBF=\frac{EF}{BE}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。