《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
|方位角的概念|图例|练习|
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|方位角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于$90^{\circ}$的角.|!|(1)点A在点O的北偏东$60^{\circ }$方向上；
(2)点B在点O的南偏西$30^{\circ }$方向上；
(3)点C在点O的东南方向上.|

答案： 北偏东$60^{\circ }$ 南偏西$30^{\circ }$ 东南

【例1】如图，热气球位于观测塔P的北偏西$50^{\circ}$方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西$37^{\circ}$方向的B处，这时B处距离观测塔P有多远？(结果保留整数，参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$，$\cos37^{\circ}\approx0.80$，$\tan37^{\circ}\approx0.75$，$\sin50^{\circ}\approx0.77$，$\cos50^{\circ}\approx0.64$，$\tan50^{\circ}\approx1.19$)
!

答案： 解:由题意,得$∠A=50^{\circ },$
$∠B=37^{\circ },PA=100km.$
在$Rt△PAC$中,$\because sinA=\frac {PC}{PA},$
$\therefore PC=PA\cdot sin50^{\circ }\approx 77km.$
在$Rt△PBC$中,$\because sinB=\frac {PC}{PB},$
$\therefore PB=\frac {PC}{sin37^{\circ }}\approx 128km.$
答:这时B处距离观测塔P有128km.

【变式1】如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东$45^{\circ}$方向上，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东$60^{\circ}$方向，求这段河的宽度.
!

答案：
解:如图,过点B作$BD⊥CA$,交CA的延长线于点D.

由题意,得$AC=60m,$
$∠ABD=45^{\circ },∠CBD=60^{\circ }.$
设$BD=xm.$
在$Rt△ABD$中,$∠ABD=45^{\circ },$
$\therefore AD=BD=xm.$
$\therefore CD=(x+60)m.$
在$Rt△BCD$中,$tan60^{\circ }=\frac {CD}{BD}=$
$\frac {x+60}{x}=\sqrt {3},$
解得$x=30\sqrt {3}+30.$
经检验，$x=30\sqrt {3}+30$是原方程的解且符合题意.
∴这段河的宽度为$(30\sqrt {3}+30)m.$

|坡角和坡度的概念|图形|练习|
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|如右图，AB是一个斜坡.
(1)坡面AB与水平线AC的夹角$\alpha$叫坡角；
(2)坡角的正切值叫坡度，记作i，即坡度$i=\tan\alpha=\frac{h}{l}$. |!|如左图，坡AB的坡度为i，坡角为$\alpha$.
(1)当$\alpha=30^{\circ}$，则$i=$$1:\sqrt {3}$.
(2)当$i=\sqrt{3}:1$，则$\alpha=$$60^{\circ }$；
(3)当$i=1:1$，则$\alpha=$$45^{\circ }$；
(4)当$h=2$，$l=4$，则$i=$$1:2$.|

答案： $1:\sqrt {3}$ $60^{\circ }$ $45^{\circ }$ $1:2$