《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例 4】解方程：$x^{2} + 3x - 2 = 0$.

答案： 解：$\because a = 1$，$b = 3$，$c = -2$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4× 1× (-2) = 17$。
$\therefore x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2× 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$。
$\therefore x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$。

【变式 4】解方程：$3x^{2} - 4x + 1 = 0$.

答案： 解：$\because a = 3$，$b = -4$，$c = 1$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4× 3× 1 = 4$。
$\therefore x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2× 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$。
$\therefore x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{3}$。

【例 5】解方程：$x^{2} + 6x + 8 = 0$.

答案： 解：$(x + 4)(x + 2) = 0$，
$x + 4 = 0$，或$x + 2 = 0$，
$\therefore x_1 = -4$，$x_2 = -2$。

【变式 5】解方程：$x^{2} - 50x + 600 = 0$.

答案： 解：$(x - 20)(x - 30) = 0$，
$x - 20 = 0$，或$x - 30 = 0$，
$\therefore x_1 = 20$，$x_2 = 30$。

【例 6】在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在$(\frac{x^{2} - 1}{x})^{2} - 2 \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} + 1 = 0$中，令$\frac{x^{2} - 1}{x} = y$，则有$y^{2} - 2y + 1 = 0$.根据上述变形的数学思想(换元法)，解决小明给出的问题：求方程$(x^{2} - 1)^{2} + (x^{2} - 1) = 0$的根.

答案： 解：设$y = x^2 - 1$，则$y^2 + y = 0$，
分解因式，得$y(y + 1) = 0$，
$\therefore y = 0$，或$y + 1 = 0$，
解得$y_1 = 0$，$y_2 = -1$。
当$y = 0$，即$x^2 - 1 = 0$时，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$；
当$y = -1$，即$x^2 - 1 = -1$时，
解得$x_3 = x_4 = 0$。
$\therefore$原方程的根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，$x_3 = x_4 = 0$。

【变式 6】(1)若实数$x$，$y$满足$(x^{2} + y^{2})(x^{2} + y^{2} - 2) = 3$，求$x^{2} + y^{2}$的值.
(2)解方程：$x^{4} - x^{2} - 6 = 0$.

答案： 解：
(1)设$a = x^2 + y^2$，
则$a(a - 2) = 3$，$a^2 - 2a - 3 = 0$，
即$(a - 3)(a + 1) = 0$，
解得$a_1 = 3$，$a_2 = -1$。
$\because x^2 + y^2 \geq 0$，
$\therefore x^2 + y^2 = 3$。
(2)设$x^2 = y$。
$\because x^4 - x^2 - 6 = 0$，
$\therefore y^2 - y - 6 = 0$。
$\therefore (y + 2)(y - 3) = 0$，
解得$y_1 = -2$，$y_2 = 3$。
$\because x^2 \geq 0$，
$\therefore x^2 = 3$。
$\therefore x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$。