《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图，某班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度$CD=3m$，标杆与旗杆的水平距离$BD=15m$，人的眼睛与地面的高度$EF=1.6m$，人与标杆CD的水平距离$DF=2m$，求旗杆AB的高度。
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答案： 解:依题意，得 $ CD \perp FB $，$ AB \perp FB $．
∴ $ CD // AB $．
∴ $ \triangle CGE \backsim \triangle AHE $．
∴ $ \frac{CG}{AH} = \frac{EG}{EH} $，即 $ \frac{3 - 1.6}{AH} = \frac{2}{2 + 15} $，
解得 $ AH = 11.9 $．
∴ $ AB = AH + HB = AH + EF = 11.9 + 1.6 = 13.5 $(m)．
答:旗杆 $ AB $ 的高度为 $ 13.5 $ m．

【变式3】如图，某测量员的眼睛A与标杆的顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面的高度AB为1.6m，标杆FC的长为3.2m，$BC=1m$，$CD=5m$，求电视塔ED的高度。
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课堂总结：利用相似三角形测高关键是找到相似的三角形(通常是正A型和正8型)，找准对应边，利用对应边的比相等求边长。

答案：
解:如图，过点 $ A $ 作 $ AH \perp ED $，交 $ FC $ 于点 $ G $，交 $ ED $ 于点 $ H $．

由题意，可得 $ \triangle AFG \backsim \triangle AEH $．
∴ $ \frac{AG}{AH} = \frac{FG}{EH} $，即 $ \frac{1}{1 + 5} = \frac{3.2 - 1.6}{EH} $，
解得 $ EH = 9.6 $．
∴ $ ED = 9.6 + 1.6 = 11.2 $(m)．
答:电视塔 $ ED $ 的高度为 $ 11.2 $ m．

1.（北师教材九上P105T1改编）高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，则该建筑物的高度为16m。

答案： 16

2.（北师教材九上P105T4）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离$BC=1m$。已知某一时刻BC在地面的影长$CN=1.5m$，AC在地面的影长$CM=4.5m$，求窗户的高度。
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答案： 解:
∵ $ BN // AM $，
∴ $ \triangle CBN \backsim \triangle CAM $．
∴ $ \frac{NC}{MC} = \frac{BC}{AC} $．
∴ $ \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{AC} $，解得 $ CA = 3 $．
∴ $ AB = 3 - 1 = 2 $(m)．
答:窗户的高度为 $ 2 $ m．

3.（北师教材九上P104“读一读”改编）如图，小明要测量操场上旗杆的高度AH。立两根高1m的标杆BC和DE，两杆相距$BD=15m$，D，B，H三点共线。已知$BF=2m$，A，C，F三点共线；$DG=3m$，A，E，G三点也共线，求旗杆的高度AH及HB的距离。
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答案： 解:设 $ BH = x $，$ AH = y $．
根据题意，得 $ BC // AH $，$ DE // AH $．
∴ $ \triangle FCB \backsim \triangle FAH $，$ \triangle EDG \backsim \triangle AHG $．
∴ $ \frac{BC}{AH} = \frac{BF}{FH} $，$ \frac{DE}{AH} = \frac{DG}{HG} $，
即 $ \frac{1}{y} = \frac{2}{2 + x} $，$ \frac{1}{y} = \frac{3}{3 + 15 + x} $．
∴ $ \frac{2}{2 + x} = \frac{3}{3 + 15 + x} $，
解得 $ x = 30 $，$ y = 16 $．
经检验，$ x = 30 $，$ y = 16 $ 是原方程的解，且符合题意．
答:旗杆的高度 $ AH $ 为 $ 16 $ m，$ HB $ 的距离为 $ 30 $ m．