《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 有两部不同型号的手机(分别记为A,B)和与之匹配的2个保护盖(分别记为a,b)散乱地放在桌子上,若从手机和保护盖中随机取两个,用画树状图或列表的方法求恰好匹配的概率.

答案：
解:画树状图如图:

共有 12 种等可能的结果,其中恰好匹配的结果有 4 种,
∴恰好匹配的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

2. 一个不透明的布袋中装有1个黄球和2个红球,每个球除颜色外都相同.
(1)任意摸出一个球,记下颜色后放回,摇均匀后再任意摸出一个球,求两次摸到球的颜色相同的概率.
(2)现将n个蓝球放入布袋,搅匀后任意摸出一个球,记录其颜色后放回,重复该试验,经过大量试验后,发现摸到蓝球的频率稳定在0.7附近,求n的值.

答案：
解:
(1)画树状图如下:

由树状图知共有 9 种等可能的结果,其中两次摸到球的颜色相同的有 5 种结果,
∴两次摸到球的颜色相同的概率为$\frac{5}{9}$.
(2)根据题意,得$\frac{n}{1 + 2 + n}=0.7$,
解得$n = 7$.
经检验,$n = 7$是原分式方程的解,且符合题意.
∴n 的值为 7.

3. 小明将四张正面分别标有数字-3,-1,1,3的卡片(除数字外都相同)置于暗箱内摇匀,从中随机抽取两张,求所抽卡片上的数字至少有一个是方程$x^{2}-2-3=0$的解的概率.

答案：
解:由$x^{2}-2x - 3 = 0$,
得$(x - 3)(x + 1)=0$,
解得$x_{1}=3,x_{2}=-1$.
画树状图如图:

共有 12 种等可能的结果,其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的解的结果有$(-3,-1),(-3,3),(-1,-3),(-1,1),(-1,3),(1,-1),(1,3),(3,-3),(3,-1),(3,1)$,共 10 种等可能的结果,
∴所抽卡片上的数字至少有一个是方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的解的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

4. 如图所示是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.小亮和小颖利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止转动后,指针所指区域内的数字之和小于10,小颖获胜;指针所指区域内的数字之和等于10,为平局;指针所指区域内的数字之和大于10,小亮获胜.如果指针恰好指在分隔线上,那么重转一次,直到指针指向一个数字为止.
(1)请通过画树状图的方法求小颖获胜的概率.
(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请设计出一种公平的游戏.
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答案：
解:
(1)画树状图如下:
和789108910119101112 共有 12 种等可能的结果，其中和小于 10 的结果有 6 种，
∴小颖获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2)不公平.游戏规则可修改为当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于 10 时,小亮获胜;当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于 10 时,小颖获胜.(答案不唯一)