《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200件,已知该商品单价每上涨1元,其销售量就减少5件,设这种商品的售价上涨x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是 (C)
A. $ y=(x - 35)(200 - 5x) $
B. $ y=(x + 40)(200 - 10x) $
C. $ y=(x + 5)(200 - 5x) $
D. $ y=(x + 5)(200 - 10x) $

答案： 2.C

【例1】某商店将进货价为70元/件的商品按零售价100元/件出售时,每天能卖出20件,若零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1件.
(1)设降价x元后,利润为y元,求y与x之间的函数关系式.
(2)当x为多少时,每天的利润最大? 最大利润是多少?

答案： 【例1】解：
(1)y与x之间的函数关系式为
y=(20+x)(100−x−70)=−x²+10x+600(0≤x＜30).
(2)y=−x²+10x+600
=−(x−5)²+625.
∵−1＜0，0≤x＜30，
∴当x=5时，二次函数有最大值，为y=625.
∴当x为5时，每天的利润最大，最大利润是625元.

【变式1】某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件. 经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件. 将销售价定为多少,才能使每天所获销售利润最大? 最大利润是多少?

答案： 【变式1】解：设销售单价定为x元(10≤x＜20)，每天所获利润为y元.
则y=[100−10(x−10)]·(x−8)
=−10x²+280x−1600
=−10(x−14)²+360，
∴将销售单价定为14元时，每天所获销售利润最大，最大利润是360元.

【例2】某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜,市场监督部门规定其售价每千克不高于28元. 经市场调查发现,山野菜的日销售量y(单位:kg)与每千克售价x(单位:元)之间满足一次函数关系,部分数据如表:
| 每千克售价x(元) | … | 20 | 22 | 24 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量y(kg) | … | 66 | 60 | 54 | … |
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大? 最大利润为多少元?

答案： 【例2】解：
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
由表中数据，得{20k+b=66，22k+b=60，
解得{k=−3，b=126.
∴y与x之间的函数关系式为y=−3x+126.
(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元.
由题意，得w=(x−18)y=(x−18)(−3x+126)=−3x²+180x−2268=−3(x−30)²+432.
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，且y＞0，
∴18≤x≤28.
∵−3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大.
∴当x=28时，w最大，最大值为420.
答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元.