《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

正比例函数$y = x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的解析式；(2)求这两个函数图象另一个交点的坐标.

答案： 解:
(1)当$y=2$时，$x=2$。
把$(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=4$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
(2)联立$\begin{cases}y=x,\\y=\frac{4}{x},\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-2.\end{cases}$
∴另一个交点的坐标为$(-2,-2)$。

【例1】如图，已知$A(-4,2)$，$B(n,-4)$是一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)观察图象，直接写出不等式$kx + b-\frac{m}{x}＞0$的解集；
(3)求$\triangle AOB$的面积.
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答案： 解:
(1)将$A(-4,2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，
得$m=-4×2=-8$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
∵点$B(n,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$-4=-\frac{8}{n}$，
解得$n=2$。
∴点$B(2,-4)$。
∵一次函数$y=kx+b$的图象过$A(-4,2)$，$B(2,-4)$两点，
∴$\begin{cases}-4k+b=2,\\2k+b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2)不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$的解集是$0＜x＜2$或$x＜-4$。
(3)
∵在一次函数$y=-x-2$中，令$y=0$，解得$x=-2$，
∴一次函数与$x$轴的交点为$C(-2,0)$。
∴$OC=2$。
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$。

【变式1】如图，已知直线$y_1 = x + m$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，与双曲线$y_2=\frac{k}{x}$分别交于点$C$，$D$，且点$C$的坐标为$(-1,2)$.
(1)分别求直线$AB$与双曲线的解析式.
(2)求点$D$的坐标；
(3)连接$OC$，$OD$，求$\triangle COD$的面积.
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答案： 解:
(1)
∵点$C(-1,2)$在直线$y_1=x+m$上，
∴$2=-1+m$，
解得$m=3$。
∴直线$AB$的解析式为$y_1=x+3$。
∵点$C(-1,2)$在双曲线$y_2=\frac{k}{x}$上，
∴$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$。
∴双曲线的解析式为$y_2=-\frac{2}{x}$。
(2)联立两函数解析式，得$\begin{cases}y=x+3,\\y=-\frac{2}{x},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=1.\end{cases}$
∴点$D$的坐标为$(-2,1)$。
(3)
∵直线$AB$的解析式为$y_1=x+3$，
∴点$A(-3,0)$。
∴$OA=3$。
∵点$C(-1,2)$，点$D(-2,1)$，
∴$S_{\triangle COD}=S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。