《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 求直线$y = 3x - 6$与$x$轴的交点，
解：令$y = 0$，即$3x - 6 = 0$，
解得$x = $____，
则直线与$x$轴的交点为(____，0)。

答案： 2 2

2. 求抛物线$y = x^{2} - 3x + 2$与$x$轴的交点。
解：令$y = 0$，即$x^{2} - 3x + 2 = 0$，
解得$x_{1} = $1，$x_{2} = $2，
则抛物线与$x$轴的交点为(1，0)和(2，0)。

答案： 2 1 2

二、课堂导学
知识点1 求抛物线$y = ax^{2} + bx + c$与$x$轴的交点坐标
【例1】求抛物线与$x$轴的交点坐标。
(1)$y = x^{2} - 2x - 3$；(2)$y = x^{2} - 6x + 9$。
【变式1】求抛物线与$x$轴的交点坐标。
(1)$y = x^{2} - 8x + 7$；(2)$y = x^{2} + x + 1$。

答案： 【例 1】解：
(1)当 $ y = 0 $ 时，$ x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = 3 $。
∴与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $。
(2)当 $ y = 0 $ 时，$ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ^ { 2 } = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 3 $。
∴与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ ( 3, 0 ) $。
【变式 1】解：
(1)当 $ y = 0 $ 时，$ x ^ { 2 } - 8 x + 7 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 7 $。
∴与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ ( 1, 0 ) $，$ ( 7, 0 ) $。
(2)没有交点。

【例2】已知抛物线$y = x^{2} - bx + c$与$x$轴交于点$A(1,0)$，$B(-3,0)$，则关于$x$的方程$x^{2} - bx + c = 0$的解是（C）
A. $x_{1} = - 1$，$x_{2} = - 3$
B. $x_{1} = - 1$，$x_{2} = 3$
C. $x_{1} = 1$，$x_{2} = - 3$
D. $x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$

答案： C

【变式2】(1)若方程$ax^{2} + bx + c = 0$的解为$x_{1} = 4$，$x_{2} = 1$，则抛物线$y = ax^{2} + bx + c$与$x$轴的交点为$ ( 4, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $；
(2)已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的解为$ x _ { 1 } = - 1 $ 或 $ 3 $。
!
知识点3 计算$\Delta$判断抛物线与$x$轴的交点个数

答案：
(1)$ ( 4, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $
(2)$ x _ { 1 } = - 1 $ 或 $ 3 $

【例3】函数$y = x^{2} + 2x - 3$的图象与$x$轴的交点个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C

【变式3】抛物线$y = 2x^{2} - 3x + 5$与$x$轴的交点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： A