《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】解方程：$2x^{2}-2\sqrt {2}x+1=0.$

答案： 解：$\because a=2,b=-2\sqrt {2},c=1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt {2})^{2}-4×2×1=0$．
$\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {-2\sqrt {2}}{2×2}=\frac {\sqrt {2}}{2}$．

【变式3】解方程：$x^{2}+x+\frac {1}{4}=0.$

答案： 解：$\because a=1,b=1,c=\frac {1}{4}$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×\frac {1}{4}=0$．
$\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {1}{2}$．

1. $x=\frac {-3\pm \sqrt {3^{2}+4×2×1}}{2×2}$是下列哪个一元二次方程的根（C）
A. $2x^{2}+3x+1=0$
B. $2x^{2}-3x+1=0$
C. $2x^{2}+3x-1=0$
D. $2x^{2}-3x-1=0$

答案： C

2. 用公式法解下列方程：
(1)$5x^{2}-3x=x+1$；
(2)$x^{2}+17=8x.$

答案： 解：
(1) 方程化为$5x^{2}-4x-1=0$．
$\therefore a=5,b=-4,c=-1$．
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×5×(-1)=36$．
$\therefore x=\frac {4\pm \sqrt {36}}{2×5}=\frac {4\pm 6}{10}$．
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-\frac {1}{5}$．
(2) 方程化为$x^{2}-8x+17=0$．
$\therefore a=1,b=-8,c=17$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×17=-4＜0$．
$\therefore$ 方程无实数根．

3. 用公式法解下列方程：
(1)$3x^{2}+4x=2$；
(2)$(2x+1)+(x-1)=2.$

答案： 解：
(1) 方程化为$3x^{2}+4x-2=0$．
$\therefore a=3,b=4,c=-2$．
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40＞0$．
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-4\pm \sqrt {40}}{2×3}$．
$\therefore x_{1}=\frac {-2+\sqrt {10}}{3},x_{2}=\frac {-2-\sqrt {10}}{3}$．
(2) 原方程化成一般式为$2x^{2}-x-3=0$，
$\therefore a=2,b=-1,c=-3$．
$\therefore \Delta =(-1)^{2}-4×2×(-3)=25＞0$．
$\therefore x=\frac {1\pm \sqrt {\Delta }}{2×2}=\frac {1\pm \sqrt {25}}{2×2}$．
$\therefore x_{1}=\frac {3}{2},x_{2}=-1$．

4. 点$A$在数轴的负半轴，点$B$在数轴的正半轴，且点$A$对应的数是$2x+1$，点$B$对应的数是$x^{2}+x$，已知$AB=5$，则$x$的值为-2.

答案： -2

5. 对于两个不相等的实数$a$，$b$，我们规定符号$Max\{ a,b\}$表示$a$，$b$中的较大值，如：$Max\{ 2,4\} =4$.按照这个规定，方程$Max\{ x,-x\} =x^{2}-2$的解为2或-2.

答案： 2或-2