《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】用配方法解一元二次方程：
$2x^2 + 1 = 3x$.
【变式3】用配方法解一元二次方程：
$3x^2 + 8x - 3 = 0$.

答案： 【例3】解：$2x^{2}-3x+1=0,$
$x^{2}-\frac {3}{2}x+\frac {1}{2}=0,$
$x^{2}-\frac {3}{2}x+\frac {9}{16}=-\frac {1}{2}+\frac {9}{16},$
$(x-\frac {3}{4})^{2}=\frac {1}{16},$
$x-\frac {3}{4}=\pm \frac {1}{4},$
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=\frac {1}{2}.$
【变式3】解：$x^{2}+\frac {8}{3}x=1,$
$x^{2}+\frac {8}{3}x+\frac {16}{9}=1+\frac {16}{9},$
$(x+\frac {4}{3})^{2}=\frac {25}{9},$
$x+\frac {4}{3}=\pm \frac {5}{3},$
$\therefore x_{1}=\frac {1}{3},x_{2}=-3.$

1. 将一元二次方程$x^2 - 8x - 2 = 0$化成$(x - a)^2 = b$的形式，则$ab =$72.

答案： 72

2. 用配方法解下列方程：
(1) $x(x + 4) = 8x + 12$；
(2) $(y + 3)(y - 1) - 12 = 0$.

答案： 解：
(1)$x^{2}+4x=8x+12,$
$x^{2}-4x=12,$
$x^{2}-4x+4=12+4,$
$(x-2)^{2}=16,$
$x-2=\pm 4,$
$\therefore x_{1}=6,x_{2}=-2.$
(2)$y^{2}+2y-3-12=0,$
$y^{2}+2y+1=16,$
$(y+1)^{2}=16,$
$y+1=\pm 4,$
$\therefore y_{1}=3,y_{2}=-5.$

3. (多维原创)已知一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$的一个根，请用配方法解此一元二次方程，并判断此三角形的形状.

答案： 解：$\because x^{2}-8x+15=0,$
$\therefore x^{2}-8x+16=-15+16.$
$\therefore (x-4)^{2}=1.$
$\therefore x-4=\pm 1.$
$\therefore x_{1}=5,x_{2}=3.$
当$x_{1}=5$时，三边长为3，4，5，
∴三角形的形状是直角三角形；
当$x_{2}=3$时，三边长为3，4，3，
∴三角形的形状是等腰三角形.
综上所述，三角形的形状是直角三角形或等腰三角形.

4. 求证：无论$x$取任何实数，代数式$x^2 + 10x + 30$的值总大于0. (提示：用配方法把式子变成$(x + a)^2 + k$的形式)

答案： 证明：$x^{2}+10x+30=x^{2}+10x+25+5=(x+5)^{2}+5.$
$\because (x+5)^{2}≥0,$
$\therefore (x+5)^{2}+5≥5.$
∴无论x取任何实数，代数式$x^{2}+10x+30$的值总大于0.