《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【活动一】制作原理:如图2,目标R的仰角为∠ROC,铅垂线所指的度数是∠GON,则∠ROC=∠GON(填“＞”“＜”或“=”),理由是同角的余角相等.
【活动二】 测量底部可以到达的物体的高度
如图3,公园广场上有一棵树,为测树高,王朵同学进行了以下步骤:
①在测点K处安置测角仪,测得树顶端P的仰角∠POQ=60°;
②直接量出测点K到树底部的距离KH=8m;
③量出测角仪的高度OK=1.6m.
请根据以上测量数据,求树高PH.(结果精确到0.1m,参考数据:√3≈1.73)
解:由题意,得$KH=OQ=8m$,$QH=OK=1.6m$,$∠PQO=90^{\circ}$,$∠POQ=60^{\circ}$.在$Rt\triangle POQ$中,$tan∠POQ=\frac{PQ}{OQ}$,即$tan60^{\circ}=\frac{PQ}{8}$,解得$PQ=8\sqrt{3}$.$\therefore PH=PQ+QH=8\sqrt{3}+1.6≈15.4(m)$.$\therefore$树高$PH$为$15.4m$.
【活动三】 测量底部不可以到达的物体的高度
如图4,公园台上有一凉亭,为测凉亭顶端S距地面的高度ST,同学们讨论后进行了以下步骤:
①在测点E处安置测角仪,测得此时顶端S的仰角∠SO₁D=30°.
②在测点E与凉亭之间的F处安置测角仪(点E,F,T在同一条直线上,且点E,F之间的距离可直接测得),测得此时顶端S的仰角∠SO₂D=42°;
③量出测角仪的高度O₁E=O₂F=1.6m,测得点E,F之间的距离EF=4m.
请根据以上测量数据,求凉亭顶端S距地面的高度ST.(结果精确到0.1m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,√3≈1.73)
解:由题意,得$O_{1}O_{2}=4$,$O_{1}E=O_{2}F=DT=1.6m$.在$Rt\triangle SO_{1}D$中,$tan30^{\circ}=\frac{SD}{O_{1}D}$,在$Rt\triangle SO_{2}D$中,$tan42^{\circ}=\frac{SD}{O_{2}D}$,$\therefore O_{1}D=\frac{SD}{tan30^{\circ}}$,$O_{2}D=\frac{SD}{tan42^{\circ}}$.$\because O_{1}O_{2}=O_{1}D - O_{2}D$,$\therefore 4=\frac{SD}{tan30^{\circ}}-\frac{SD}{tan42^{\circ}}$,解得$SD≈6.5$.$\therefore ST=SD+DT=6.5+1.6=8.1(m)$.

答案： 解:【活动一】= 同角的余角相等【活动二】由题意,得$KH=OQ=8m$,$QH=OK=1.6m$,$∠PQO=90^{\circ}$,$∠POQ=60^{\circ}$.在$Rt\triangle POQ$中,$tan∠POQ=\frac{PQ}{OQ}$,即$tan60^{\circ}=\frac{PQ}{8}$,解得$PQ=8\sqrt{3}$.$\therefore PH=PQ+QH=8\sqrt{3}+1.6≈15.4(m)$.$\therefore$树高$PH$为$15.4m$.
【活动三】由题意,得$O_{1}O_{2}=4$,$O_{1}E=O_{2}F=DT=1.6m$.在$Rt\triangle SO_{1}D$中,$tan30^{\circ}=\frac{SD}{O_{1}D}$,在$Rt\triangle SO_{2}D$中,$tan42^{\circ}=\frac{SD}{O_{2}D}$,$\therefore O_{1}D=\frac{SD}{tan30^{\circ}}$,$O_{2}D=\frac{SD}{tan42^{\circ}}$.$\because O_{1}O_{2}=O_{1}D - O_{2}D$,$\therefore 4=\frac{SD}{tan30^{\circ}}-\frac{SD}{tan42^{\circ}}$,解得$SD≈6.5$.$\therefore ST=SD+DT=6.5+1.6=8.1(m)$.