《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】如图,在$▱ ABCD$中,$DE⊥AB$,$DF⊥BC$,$DE=DF$.求证:$//ogram ABCD$是菱形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵DE=DF,
∴△ADE≌△CDF.
∴DA=DC.
∴□ABCD是菱形.

【变式2】(北师教材九上P7习题T3)如图,在四边形纸片ABCD中,$AD// BC$,$AD＞CD$,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点$C'$处,折痕DE交BC于点E,连接$C'E$.你能确定四边形$CDC'E$的形状吗?证明你的结论.

答案： 解:四边形CDC'E是菱形.证明如下:
由折叠,得DC=DC',CE=C'E,
∠CDE=∠C'DE.
∵AD//BC,
∴∠C'DE=∠CED.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴CD=C'D=C'E=CE.
∴四边形CDC'E是菱形.

1. 如图,在四边形ABCD中,$AD=BC$,$AC⊥BD$于点O.请添加一个条件:AD//BC,使四边形ABCD成为菱形.

答案： (答案不唯一)AD//BC

2. (北师教材九上P7习题T2)已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是菱形.
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答案： 证明:
∵点E,F分别是OA,OB的中点,
∴EF是△AOB的中位线.
∴EF=$\frac{1}{2}$AB.
同理,可得GF=$\frac{1}{2}$BC,GH=$\frac{1}{2}$DC,
EH=$\frac{1}{2}$AD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形EFGH是菱形.

3. 在$//ogram ABCD$中,点E,F分别在边AD,BC上,连接EF,CE,DF相交于点O,$ED=EF$,$OE=OC$.
(1)求证:四边形CDEF是菱形.
(2)若$//ogram ABCD$的周长为22,$BF=1$,$∠ABC=60^{\circ }$,求CE的长.
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答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ED//FC.
∴∠EDO=∠CFO.
又
∵OC=OE,
∴△EOD≌△COF.
∴ED=FC.
∴四边形CDEF是平行四边形.
又
∵ED=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,四边形CDEF是菱形,
∴AD=BC,ED=FC,FC=FE.
∴AD−ED=BC−FC.
∴AE=BF=1.
∵□ABCD的周长为22,
∴EF=$\frac{22−2}{4}$=5.
又
∵∠ABC=60°,
∴△EFC是等边三角形.
∴CE=EF=5.