《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
如果两个多边形的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。
如图，四边形 $ABCD$ 与四边形 $A'B'C'D'$ 相似，写作四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$（注意：表示对应顶点的字母要写在对应的位置上）。相似多边形对应边的比叫做相似比。

答案： 成比例 对应边的比

| | 性质 | 判定（定义） |
| --- | --- | --- |
| 相似多边形 | 相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 | 各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。 |
| 几何语言 | $\because$ 四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$，$\therefore$ $\angle A = \angle A ^ { \prime } , \angle B = \angle B ^ { \prime } , \angle C = \angle C ^ { \prime } , \angle D = \angle D ^ { \prime }$，且$\frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { A D } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } }$。 | $\because$ $\angle A = \angle A ^ { \prime } , \angle B = \angle B ^ { \prime } , \angle C = \angle C ^ { \prime } , \angle D = \angle D ^ { \prime }$，$\frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { A D } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } }$，$\therefore$ 四边形$ABCD \sim$ 四边形$A'B'C'D'$。 |

答案： (从左到右)相等 成比例
$ \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { A D } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } } $
$ \angle A = \angle A ^ { \prime } , \angle B = \angle B ^ { \prime } , \angle C = \angle C ^ { \prime } , \angle D = \angle D ^ { \prime } $成比例$ \angle A = \angle A ^ { \prime } , \angle B = \angle B ^ { \prime } , \angle C = \angle C ^ { \prime } , \angle D = \angle D ^ { \prime } \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { A D } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } } $四边形$ A B C D \sim $四边形$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $

【例1】如图，四边形 $ABCD$ 与四边形 $A'B'C'D'$ 相似。
(1) $\angle B=$$70^{\circ}$，相似比为$3:2$。
(2) 求边 $x$，$y$ 的长度。
!

解:(2) $\because$ 四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$,
$\therefore \frac{6}{x} = \frac{12}{8} = \frac{y}{12}$, 解得 $x=4$, $y=18$.

答案： 解:
(1) $ 70 ^ { \circ } $ $ 3 : 2 $
(2) $ \because $ 四边形 $ A B C D \sim $ 四边形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $,
$ \therefore \frac { 6 } { x } = \frac { 12 } { 8 } = \frac { y } { 12 } $, 解得 $ x = 4 , y = 18 $.

【变式1】如图，已知 $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$。
(1) 求 $x$，$y$ 的值。
(2) 相似比 $k=$2。
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答案： 解:
(1) $ \because \triangle A B C \sim \triangle D E F $,
$ \therefore \frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F } = \frac { B C } { E F } $, 即 $ \frac { 7 } { y } = \frac { 12 } { x } = \frac { 8 } { 4 } $,
解得 $ x = 6 , y = \frac { 7 } { 2 } $.
(2)2

【例2】两个矩形的边长如图。
(1) 求证：矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 相似。
(2) 写出它们的相似比。
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答案： 解:
(1)证明: $ \because $ 四边形 $ A B C D $, 四边形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 都是矩形,
$ \therefore \angle A = \angle A ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } , \angle B = \angle B ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } $,
$ \angle C = \angle C ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } , \angle D = \angle D ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } $.
$ \because A B = 2 , B C = 4 , A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 4 , B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 8 $.
$ \therefore \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { A D } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } $.
$ \therefore $ 矩形 $ A B C D $ 与矩形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 相似.
(2)它们的相似比为 $ \frac { 1 } { 2 } $.

【变式2】如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
!
课堂总结：相似多边形解题的关键是找准对应角和对应边，再根据对应角相等，对应边的比相等列出算式或方程求解。

答案： 解:相似. 理由如下:
由图可知, 两三角形为等腰直角三角形.
$ \therefore \frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F } = \frac { B C } { E F } = \frac { 5 } { 10 } = \frac { 1 } { 2 } , \angle A = \angle D = 90 ^ { \circ } , \angle B = \angle E = \angle C = \angle F = 45 ^ { \circ } $,
$ \therefore \triangle A B C \sim \triangle D E F $.