《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】(北师教材九上P4习题T3)已知:如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$.求证:$AC$平分$\angle BAD$和$\angle BCD$,$BD$平分$\angle ABC$和$\angle ADC$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD，CB = CD。
∵AC = AC，
∴△ABC≌△ADC。
∴∠BAC = ∠DAC，∠ACB = ∠ACD。
∴AC平分∠BAD和∠BCD。
同理可证BD平分∠ABC和∠ADC。

【变式2】如图,在菱形$ABCD$中,点$E$为对角线$BD$上一点,连接$AE$,$CE$.
(1)求证:$AE=CE$.
(2)若$AE=DE$,$AE\perp AB$,求$\angle ABD$的度数.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA = BC，DA = DC。
∵BD = BD，
∴△ABD≌△CBD。
∴∠ABD = ∠CBD。
∵BE = BE，
∴△ABE≌△CBE。
∴AE = CE。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD。
∴∠ABD = ∠ADB。
∵AE = DE，
∴∠EAD = ∠EDA。
∴∠ABD = ∠ADB = ∠DAE。
∴∠AEB = 2∠ABD。
∵AE⊥AB，
∴∠BAE = 90°。
∴3∠ABD = 90°。
∴∠ABD = 30°。

1. (多维原创)在菱形$ABCD$中,$AC$与$BD$相交于点$O$,下列结论错误的是 (B)
A. $AB=BC$
B. $AD=BD$
C. $AC\perp BD$
D. $AC$平分$\angle BAD$

答案： B

2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,菱形$AOBC$的顶点$B$在$x$轴的正半轴上,点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$,则点$C$的坐标为____(3,$\sqrt{3}$).

答案： (3,$\sqrt{3}$)

3. 在综合实践课上,创新小组的同学对如图含$60^{\circ}$角的菱形进行探究.
【问题情境】如图,在菱形$ABCD$中,$\angle A=60^{\circ}$,点$E$,$F$分别是边$AB$,$BC$上的点,且$\angle EDF=60^{\circ}$.
【初步感知】(1)若点$E$是$AB$的中点,点$F$是$CB$的中点,则$DE$与$DF$的数量关系为____.
【深入探究】(2)若点$E$,$F$分别为$AB$,$BC$上的任意一点,则$DE$与$DF$的数量关系是什么?并说明理由.
(3)若$AB=4$,求$\triangle DEF$周长的最小值.
【问题解决】(4)当点$E$在边$AB$上运动时,小明发现,四边形$DEBF$的面积保持不变,请你帮助小明验证他的发现.
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答案：
解：
(1)DE = DF
(2)DE与DF的数量关系是DE = DF。理由如下：如图，连接BD。

∵四边形ABCD是菱形，且∠A = 60°，
∴AB = AD = BC = CD，∠A = ∠C = 60°。
∴△ABD和△BDC都是等边三角形。
∴CD = BD，∠DCF = ∠DBE = 60°，∠BDC = 60°。
∴∠CDF + ∠BDF = 60°。
∵∠EDF = 60°，
∴∠BDE + ∠BDF = 60°。
∴∠CDF = ∠BDE。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}\angle BDE = \angle CDF,\\BD = CD,\\\angle DBE = \angle DCF\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA)。
∴DE = DF。
(3)由
(2)，得DE = DF。
∵∠EDF = 60°，DE = DF，
∴△DEF是等边三角形。
∴DF = DE = EF。
∴△DEF的周长是3DE。
∴当DE最小时，△DEF的周长最小。
∴当DE⊥AB时，△DEF的周长最小。
∵DE⊥AB，△ABD是等边三角形，
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB = 2，∠AED = 90°。
∵AB = AD = 4，
在Rt△AED中，∠AED = 90°，
∴DE = $\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$。
∴△DEF的周长最小值是3×2$\sqrt{3}$ = 6$\sqrt{3}$。
(4)由
(2)，得△CDF≌△BDE。
∴S△CDF = S△BDE。
∴S四边形DEBF = S△BDE + S△BDF = S△CDF + S△BDF = S△BDC。
∵S△BDC保持不变，
∴S四边形DEBF保持不变。