《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,在菱形纸片ABCD中,点E是边BC上的一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在点B'上,连接DB'.已知∠C=120°,∠BAE=50°,则∠AB'D的度数为 (C)
A. 50°
B. 60°
C. 80°
D. 90°

答案： C

7. 在综合与实践课上,老师让同学们以"折叠"为主题开展数学活动.
【问题发现】
(1)如图1,在正方形ABCD中,AB=BC=6,点F为边BC的中点,点E为边AB上的一点,连接DE,DF,分别将△ADE和△CDF沿DE,DF翻折,点A,C的对应点分别为点G,H.若点G与点H重合,则∠EDF=______,AE=______.
【类比探究】
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点F为边BC的中点,点E为边AB上的一点,连接DE,DF,分别将△ADE和△CDF沿DE,DF翻折,点A,C的对应点分别为点H,G,且D,H,G三点共线,求AE的长.
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答案：
解：
(1)$45^{\circ}$ 2
(2)如图，延长DG交AB于点M，连接FM；
∵点F为边BC的中点，
∴$CF = BF = 2$。
由翻折，得$FG = CF = BF = 2$，$∠DGF = ∠C = ∠B = ∠A = ∠DHE = 90^{\circ}$，$DG = DC = AB = 5$，$AE = EH$。
∵$FM = FM$，$∠FGM = ∠B$，
∴$Rt△FGM≌Rt△FBM$。
∴$GM = BM$。
设$MB = x$，则$DM = 5 + x$，$AM = 5 - x$。
在$Rt△ADM$中，$AD^{2} + AM^{2} = DM^{2}$，
∴$4^{2} + (5 - x)^{2} = (5 + x)^{2}$，
解得$x = \frac{4}{5}$。
∴$DM = \frac{29}{5}$，$AM = \frac{21}{5}$。
∵$S_{△ADM} = \frac{1}{2}AM\cdot AD = \frac{1}{2}AE\cdot AD + \frac{1}{2}DM\cdot EH = \frac{1}{2}AE(AD + DM)$，
∴$AE = \frac{AM\cdot AD}{AD + DM} = \frac{\frac{21}{5}×4}{4 + \frac{29}{5}} = \frac{12}{7}$。