《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中$\angle C = 90^{\circ}$。
(1)三边关系：$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $。
(2)两锐角关系：$\angle A+\angle B=$$ 90^{\circ} $；
(3)边角关系：$\sin A=$$\frac{a}{c}$，$\cos A=$$\frac{b}{c}$，$\tan A=$$\frac{a}{b}$。

答案：
(1) $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $
(2) $ 90^{\circ} $
(3) $ \frac{a}{c} $ $ \frac{b}{c} $ $ \frac{a}{b} $

2. 解直角三角形的定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = 2$，则$\angle B=$$30^{\circ}$，$AC=$$1$，$BC=$$\sqrt{3}$。

答案： 解直角三角形 $ 30^{\circ} $ $ 1 $ $ \sqrt{3} $

【例1】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$\angle A = 30^{\circ}$，解这个直角三角形。
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答案： 解：$ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ} $，
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}, A B=\frac{A C}{\cos A}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4 \sqrt{3} $。
$ \therefore B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=2 \sqrt{3} $。

【变式1】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 45^{\circ}$，$AB = 4$，解这个直角三角形。

答案： 解：$ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ} $，
$ \therefore \angle B=45^{\circ}, A C=B C $。
$ \because \sin B=\frac{A C}{A B} $，
$ \therefore A C=A B \cdot \sin B=4 \cdot \sin 45^{\circ}=2 \sqrt{2} $。
$ \therefore B C=2 \sqrt{2} $。

【例2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = \sqrt{2}$，$BC = \sqrt{6}$，解这个直角三角形。
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答案： 解：$ \because $ 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中，$ \angle C=90^{\circ} $，$ A C=\sqrt{2}, B C=\sqrt{6} $，
$ \therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=2 \sqrt{2}, \tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3} $。
$ \therefore \angle A=60^{\circ} $。
$ \therefore \angle B=30^{\circ} $。
即 $ A B=2 \sqrt{2}, \angle A=60^{\circ}, \angle B=30^{\circ} $。

【变式2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$，$AB = 4$，解这个直角三角形。
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知识点3 解直角三角形（组合图形，作高构造直角三角形）

答案： 解：$ B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2 $。
$ \because \sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} $，
$ \therefore \angle A=30^{\circ} $。
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} $。

【例3】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，$AC = 4$，求$\triangle ABC$的周长。
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答案：
解：如图，过点 $ A $ 作 $ A D \perp B C $，垂足为点 $ D $。

在 $ \mathrm{Rt} \triangle A C D $ 中，$ \angle C=60^{\circ} $，
$ \therefore \angle C A D=30^{\circ} $。$ \therefore C D=\frac{1}{2} A C=2 $。
$ \therefore A D=\sqrt{A C^{2}-C D^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3} $
在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B D $ 中，$ \angle B=45^{\circ} $，
$ \therefore B D=A D=2 \sqrt{3}, A B=\frac{A D}{\sin 45^{\circ}}=\frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2 \sqrt{6} $。
$ \therefore \triangle A B C $ 的周长为 $ 6+2 \sqrt{3}+2 \sqrt{6} $。

【变式3】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B$为锐角，$AB = 3\sqrt{2}$，$BC = 7$，$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，求$AC$的长及$\triangle ABC$的面积。
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答案：
解：如图，过点 $ A $ 作 $ A D \perp B C $ 于点 $ D $，

则 $ \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ} $。
$ \because \sin B=\frac{\sqrt{2}}{2} $，
$ \therefore \angle B=\angle B A D=45^{\circ} $。
$ \because A B=3 \sqrt{2} $，
$ \therefore A D=B D=\frac{\sqrt{2}}{2} A B=3 $。
$ \therefore \triangle A B C $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × 7 × 3=\frac{21}{2} $。
$ \therefore A C=\sqrt{A D^{2}+D C^{2}}=5 $。