《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形，就是矩形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。请自行证明矩形的特殊性质。

答案： 直角　　平行
(2)①直角　②相等
$AB\underline{\underline{//}}CD$，$AD\underline{\underline{//}}BC$
$∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90^{\circ}$
$AC=BD$

【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAC=60°，AB=3，求BC的长。

【变式1】（1）如图，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O。
①若AO=1，∠AOB=50°，那么BD=____，∠1=____°。
②若AC=4，∠BOC=120°，求BC的长和矩形ABCD的面积。

（2）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，AE与DF相交于点O。
①求证：AE=DF。
②作OH⊥AD于点H，求证：点H是AD的中点。

答案：

∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ABC=90^{\circ}$。
∵$∠BAC=60^{\circ}$，$AB=3$，
∴$∠ACB=30^{\circ}$。
∴$AC=2AB=6$。
∴$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=3\sqrt{3}$
[变式1]解:
(1)①2　25
　②
∵四边形ABCD是矩形，$AC=4$，
∴$OA=OB=OC=2$，$∠ABC=90^{\circ}$。
∵$∠BOC=120^{\circ}$，
∴$∠1=30^{\circ}$。
∴$AB=\frac{1}{2}AC=2$。
　在$Rt△ABC$中，$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=2\sqrt{3}$。
∴$S_{矩形ABCD}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(2)证明:①
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD$，$∠ABE=∠DCF=90^{\circ}$。
∵$BF=CE$，
∴$BF+FE=CE+EF$，即$BE=CF$。
　在$△ABE$和$△DCF$中，
　$\left\{\begin{array}{l}AB=DC,\\∠ABE=∠DCF,\\BE=CF,\end{array}\right.$
∴$△ABE\cong △DCF(SAS)$。
∴$AE=DF$。
　　　　　
②由①,得$△ABE\cong △DCF$，
∴$∠AEB=∠DFC$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∴$∠DAO=∠AEB$，$∠ADO=∠DFC$；
∴$∠DAO=∠ADO$。
∴$OA=OD$。
∵$OH⊥AD$，
∴点H是AD的中点