《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】一位病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后$2h$,每毫升血液中的含药量达到最大值为$4mg$,已知服药后,$2h$前每毫升血液中的含药量$y$(单位:$mg$)与时间$x$(单位:$h$)成正比例,$2h$后$y$与$x$成反比例(如图),解答下列问题:
(1)求当$0\leqslant x\leqslant 2$时,$y$与$x$的函数关系式.
(2)求当$x＞2$时,$y$与$x$的函数关系式.
(3)若每毫升血液中的含药量不低于$2mg$时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
!

答案： 解：
(1)根据图象，正比例函数图象经过点$(2,4)$。
设函数关系式为$y=kx(k≠0)$。
则$2k=4$，解得$k=2$。
$\therefore$正比例函数关系式为$y=2x(0≤x≤2)$。
(2)根据图象可知，反比例函数图象经过点$(2,4)$。
设反比例函数关系式为$y=\frac{k'}{x}$。
则$\frac{k'}{2}=4$，解得$k'=8$。
$\therefore$反比例函数关系式为$y=\frac{8}{x}(x＞2)$。
(3)当$y=2$时，$2x=2$，解得$x=1$。
$\frac{8}{x}=2$，解得$x=4$。
$\because 4-1=3(h)$，
$\therefore$服药一次，治疗疾病的有效时间是3h。

【变式2】一般成人喝半斤低度白酒后,$1.5h$内(包括$1.5h$)其血液中酒精含量$y$(单位:$mg/100mL$)与时间$x$(单位:$h$)的关系可近似地用二次函数$y=-200x^{2}+400x$表示;$1.5h$后(包括$1.5h$)$y$与$x$的关系可近似地用反比例函数$y=\frac {k}{x}(k＞0)$表示,如图所示.
(1)求$k$的值.
(2)某驾驶员晚上喝完半斤低度白酒,则有多长时间其血液中酒精含量不低于$72mg/100mL$?
!

答案： 解：
(1)当$x=1.5$时，
$y=-200x^{2}+400x=-200×2.25+400×1.5=150$，
$\therefore k=1.5×150=225$。
(2)当$y=72$时，即$-200x^{2}+400x=72$，
解得$x=\frac{9}{5}$(不符合题意，舍去)或$\frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}h=12min$；
由
(1)，得当$x≥1.5$时，$y=\frac{225}{x}$。
则$y=72$时，即$72=\frac{225}{x}$，
解得$x=3.125$。
$3.125h=187.5min$，
$187.5-12=175.5(min)$，
$\therefore 175.5min$内其血液中酒精含量不低于72mg/100mL。

| |第1天|第2天|第3天|第4天|
|--|--|--|--|--|
|售价$x/$(元/盒)|150|$120$|$100$|$80$|
|销售量$y/$盒|$40$|$50$|60|$75$|
(1)请写出$y$与$x$之间的反比例函数解析式,并补全表格.
$y=\frac{6000}{x}$
(2)在试销$4$天后,老陈决定将销售价格定为$100$元/盒,并且每天都按这个价格销售,销售量与售价仍然满足试销期的关系,那么余下的蔬菜礼盒预计再用多少天可以全部售出?
3天

答案： 解：
(1)设$y$与$x$之间的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
由表中数据，可得$k=xy=120×50=6000$，
$\therefore y$与$x$之间的反比例函数解析式为$y=\frac{6000}{x}$。
150 60
(2)销售4天后剩下的数量$m=405-(40+50+60+75)=180$，
当$x=100$时，$y=\frac{6000}{100}=60$，
$\therefore 180÷60=3$(天)。
$\therefore$余下的蔬菜礼盒预计再用3天可以全部售出。