《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形。
2. 矩形+边：有一组邻边相等的矩形是正方形。
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形。
3. 矩形+对角线：对角线垂直的矩形是正方形。
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形。
4. 菱形+角：有一个角是直角的菱形是正方形。
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形。
5. 菱形+对角线：对角线相等的菱形是正方形。
∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形。

答案： 相等 直角 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∠ABC=90°
@@相等 四边形ABCD是矩形，AB=BC
@@垂直 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD
@@直角 四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°
@@相等 四边形ABCD是菱形，AC=BD

【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件AC⊥BD，使矩形ABCD是正方形。

答案： （答案不唯一）AC⊥BD

【变式1】下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（B）
A. $ AB = AD $
B. $ AB \perp BC $
C. $ AC \perp BD $
D. AC平分$ \angle BAD $

答案： B

【例2】如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF。求证：四边形ADFE是正方形。
!

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADF=90°。
由折叠，得∠DFE=∠A=90°，
∴四边形ADFE是矩形。
由折叠，得AE=FE，
∴四边形ADFE是正方形。

【变式2】（北师教材九上P27T13改编）如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，CD平分$ \angle ACB $，$ DE \perp BC $于点E，$ DF \perp AC $于点F。求证：四边形CFDE是正方形。
!

答案： 证明：
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠CFD=∠CED=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形。
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DE。
∴四边形CFDE是正方形。