《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知二次函数的图象以点$A(-1,4)$为顶点，且过点$B(2,-5)$.
(1) 求该函数的解析式；
(2) 直接写出当$y$随$x$的增大而增大时自变量$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)设该函数的解析式为 $y = a(x + 1)^2 + 4$。
把 $(2,-5)$ 代入，得 $9a + 4 = -5$，
解得 $a = -1$。
∴该函数的解析式为 $y = -(x + 1)^2 + 4$，即 $y = -x^2 - 2x + 3$。
(2)$y$ 随 $x$ 的增大而增大时自变量 $x$ 的取值范围是 $x ＜ -1$。

2. 二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点. 求此二次函数的解析式和顶点坐标.

答案： 解：
∵二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$，$B(3,0)$ 两点，
∴$y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$。
∴此二次函数的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$，顶点坐标为 $(1,-4)$。

3. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = x^2 + bx + c$图象的对称轴为直线$x = 1$，且它经过点$A(3,0)$. 求该二次函数的解析式和图象的顶点坐标.

答案： 解：
∵二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 图象的对称轴为直线 $x = 1$，且它经过点 $A(3,0)$，
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2} = 1, \\ 9 + 3b + c = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b = -2, \\ c = -3.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$。
∵$y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$，
∴抛物线顶点坐标为 $(1,-4)$。

4. 如图，已知平行四边形$ABCD$的顶点$A$的坐标为$(2,6)$，点$B$在$y$轴上，且$AD// BC// x$轴，过$B$，$C$，$D$三点的抛物线的顶点坐标为$(2,2)$，求抛物线的函数解析式.
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答案： 解：
∵过 $B$，$C$，$D$ 三点的抛物线的顶点坐标为 $(2,2)$，$AD // BC // x$ 轴，
∴由抛物线的对称性，可得 $BC = 4$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$AD = BC = 4$。
∵点 $A$ 的坐标为 $(2,6)$，
∴$D(6,6)$。
设抛物线的函数解析式为 $y = a(x - 2)^2 + 2$。
代入点 $D$ 的坐标，得 $6 = 16a + 2$，
解得 $a = \frac{1}{4}$。
∴抛物线的函数解析式为 $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 2$。