《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1.（传统文化）桔槔俗称“吊杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，其示意图如图2所示.$OM$是垂直于水平地面的支撑杆，$OM=3m$，$AB$是杠杆，$AB=6m$，$OA:OB=2:1$.当点$A$位于最高点时，$\angle AOM=120^{\circ}$，此时点$A$到地面的距离为5$m$.

答案： $ 5 $

2. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$BC$的垂直平分线交$AC$于点$D$，延长$AC$至点$E$，使$CE=AB$.
（1）若$AE=1$，求$\triangle ABD$的周长.
（2）若$AD=\frac{1}{3}BD$，求$\tan \angle ABC$的值.
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答案：
解：
(1) 如图，连接 $ B D $，设 $ B C $ 垂直平分线交 $ B C $ 于点 $ F $．
　　　　
$ \therefore B D = C D $．
$ \therefore C _ { \triangle A B D } = A B + A D + B D = A B + A D + D C = A B + A C $．
$ \because A B = C E $，
$ \therefore C _ { \triangle A B D } = A C + C E = A E = 1 $．
(2) 设 $ A D = x $，则 $ B D = 3 x $．
又 $ \because B D = C D $，
$ \therefore A C = A D + C D = 4 x $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B D $ 中，
$ A B = \sqrt { B D ^ { 2 } - A D ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 x ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } x $．
$ \therefore \tan \angle A B C = \frac { A C } { A B } = \frac { 4 x } { 2 \sqrt { 2 } x } = \sqrt { 2 } $．

3. 如图，一楼房$AB$后有一座假山$CD$，$CD$的坡度$i=1:2$，山坡坡面上的点$E$处有一休息亭，测得假山山脚与楼房水平距离$BC=24m$，与亭子距离$CE=8\sqrt{5}m$，小丽从楼房房顶$A$处测得点$E$的俯角为$43^{\circ}$.
（1）求点$E$到水平地面的距离.
（2）求楼房$AB$的高度.（结果精确到$0.1m$，参考数据：$\sin 43^{\circ}\approx 0.68$，$\cos 43^{\circ}\approx 0.73$，$\tan 43^{\circ}\approx 0.93$）
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答案：
解：
(1) 如图，过点 $ E $ 作 $ E F $ 垂直于水平地面，垂足为 $ F $．
　　　
$ \because C D $ 的坡度为 $ i = 1 : 2 $，
$ \therefore \frac { E F } { C F } = \frac { 1 } { 2 } $．
设 $ E F = x \mathrm { ~m } $，则 $ C F = 2 x \mathrm { ~m } $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle C E F $ 中，$ C E = \sqrt { C F ^ { 2 } + E F ^ { 2 } } = \sqrt { ( 2 x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } x ( \mathrm { m } ) $．
$ \because C E = 8 \sqrt { 5 } \mathrm { ~m } $，
$ \therefore \sqrt { 5 } x = 8 \sqrt { 5 } $，解得 $ x = 8 $．
$ \therefore E F = 8 \mathrm { ~m } $，$ C F = 16 \mathrm { ~m } $．
$ \therefore $ 点 $ E $ 到水平地面的距离为 $ 8 \mathrm { ~m } $．
(2) 如图，延长 $ F E $ 交 $ A H $ 于点 $ G $．
则 $ A G = B F = B C + C F = 24 + 16 = 40 ( \mathrm { m } ) $，$ A B = G F $，$ \angle A G E = 90 ^ { \circ } $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A G E $ 中，$ \angle G A E = 43 ^ { \circ } $，
$ \therefore G E = A G \cdot \tan 43 ^ { \circ } \approx 40 × 0.93 = 37.2 ( \mathrm { m } ) $．
$ \therefore A B = G F = E F + G E = 8 + 37.2 = 45.2 ( \mathrm { m } ) $．
$ \therefore $ 楼房 $ A B $ 的高度约为 $ 45.2 \mathrm { ~m } $．

4. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知$AB=AC=1.5m$，$AD=1.2m$，$AC$与$AB$的张角为$\alpha$，为保证安全，$\alpha$的调整范围是$30^{\circ}\leqslant \alpha\leqslant 60^{\circ}$，$BC$为固定张角$\alpha$大小的绳索.
（1）求绳索$BC$长的最大值.
（2）若$\alpha=40^{\circ}$，求桑梯顶端$D$到地面$BC$的距离.（参考数据：$\sin 70^{\circ}\approx 0.94$，$\cos 70^{\circ}\approx 0.34$，$\tan 70^{\circ}\approx 2.75$，最后结果精确到$0.01m$）

答案：
解：
(1) 由题意，得当 $ \angle B A C = \alpha = 60 ^ { \circ } $ 时，绳索 $ B C $ 的长最大．
$ \because A B = A C = 1.5 \mathrm { ~m } $，
$ \therefore \triangle A B C $ 是等边三角形．
$ \therefore B C = A B = 1.5 \mathrm { ~m } $．
$ \therefore $ 绳索 $ B C $ 长的最大值为 $ 1.5 \mathrm { ~m } $．
(2) 如图，过点 $ D $ 作 $ D E \perp B C $，垂足为 $ E $．
　　　　　　
$ \therefore \angle D E C = 90 ^ { \circ } $．
$ \because A B = A C = 1.5 \mathrm { ~m } $，$ \angle B A C = \alpha = 40 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle C = \frac { 1 } { 2 } ( 180 ^ { \circ } - \angle B A C ) = 70 ^ { \circ } $．
$ \because A D = 1.2 \mathrm { ~m } $，
$ \therefore D C = A D + A C = 2.7 \mathrm { ~m } $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle D E C $ 中，$ D E = D C \cdot \sin 70 ^ { \circ } \approx 2.7 × 0.94 \approx 2.54 ( \mathrm { m } ) $．
$ \therefore $ 桑梯顶端 $ D $ 到地面 $ B C $ 的距离约为 $ 2.54 \mathrm { ~m } $．