《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

正切常用来描述斜坡的坡度. 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），记作$i$. 如图中斜坡的坡度$i=\tan\alpha$.
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答案： 铅直高度 水平宽度

【例3】如图，是某斜坡的示意图，为了了解该斜坡的倾斜程度，小明测得图中所示的数据，则该斜坡的坡度$\tan\alpha=$1：3.

答案： 1：3

【变式3】如图，是某滑梯的示意图，已知滑梯梯面AB与地面AC所成斜坡的坡度$i=3:4$. 若它的垂直高度BC为30m，则该滑梯的水平长度$AC=$____m，滑梯梯面$AB=$____m.
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答案： 40 50

1. 如图，在平面直角坐标系中，OA过点$B(2,1)$，则$\tan\alpha$的值是$\frac {1}{2}$.

答案： $\frac {1}{2}$

2. 在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=1$，$BC=3$，则$∠A$的正切值为（A）
A. 3
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： A

3. 比较$\tan20^{\circ}$，$\tan50^{\circ}$，$\tan70^{\circ}$的大小，正确的是（）
A. $\tan70^{\circ}＜\tan50^{\circ}＜\tan20^{\circ}$
B. $\tan50^{\circ}＜\tan20^{\circ}＜\tan70^{\circ}$
C. $\tan20^{\circ}＜\tan50^{\circ}＜\tan70^{\circ}$
D. $\tan20^{\circ}＜\tan70^{\circ}＜\tan50^{\circ}$

答案： C

4. 如图，在$5×5$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，$\triangle ABC$的顶点均在格点（网格线的交点）上，则$\tan B$的值为$\frac {3}{4}$.

答案： $\frac {3}{4}$

5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，CD是斜边AB上的高，$∠A≠45^{\circ}$，则下列比值中不等于$\tan A$的是（D）
A. $\frac{CD}{AD}$
B. $\frac{BD}{CD}$
C. $\frac{CB}{AC}$
D. $\frac{CD}{BD}$

答案： D

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$.
（1）若$AB=10$，$BC=8$，求$∠B$的正切值.
（2）若$AC=3$，$\tan B=\frac{1}{2}$，求AB的长.
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答案： 解：（1）在 $Rt△ABC$ 中，$AC = \sqrt {AB^{2}-BC^{2}} = 6$。
$\therefore \tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {6}{8}=\frac {3}{4}$。
（2）$\because AC = 3$，$\tan B=\frac {1}{2}$，
$\therefore \frac {3}{BC}=\frac {1}{2}$，解得 $BC = 6$。
在 $Rt△ABC$ 中，$AB = \sqrt {AC^{2}+BC^{2}} = \sqrt {3^{2}+6^{2}} = 3\sqrt {5}$。

7. 如图，在矩形ABCD中，$AB=10$，$BC=8$，点E为边AD上一点，将$\triangle CDE$沿CE对折，使点D正好落在边AB上的点F处，求$\tan∠AFE$的值.
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答案： 解：在矩形 $ABCD$ 中，$∠B = ∠D = 90^{\circ}$，$CD = AB = 10$。
由折叠的性质，得$∠EFC = ∠D = 90^{\circ}$。
$\therefore ∠AFE + ∠BFC = 90^{\circ}$。
在 $Rt△BCF$ 中，$∠BCF + ∠BFC = 90^{\circ}$。
$\therefore ∠AFE = ∠BCF$。
由折叠的性质，得 $CF = CD$。
在 $Rt△BFC$ 中，$BC = 8$，$CF = CD = 10$。
$\therefore BF = \sqrt {CF^{2}-BC^{2}} = 6$。
$\therefore \tan ∠BCF=\frac {BF}{BC}=\frac {6}{8}=\frac {3}{4}$。
$\therefore \tan ∠AFE = \tan ∠BCF=\frac {3}{4}$。