《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 当气温与人体正常体温$(37^{\circ }C)$之比等于黄金比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为23$^{\circ }C$.（取整数）

答案： 23

2. (跨学科融合)如图，乐器上的一根弦$AB = 80cm$，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则$AC=$$(40\sqrt{5} - 40)$cm.

答案： $(40\sqrt{5} - 40)$

3. 如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台AB长为20m，则主持人应走到离点A至少7.64m处.（结果精确到0.01）

答案： 7.64

4. 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取边AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使$PF = PD$，以AF为边作正方形AMEF，点M在边AD上.
(1)求AM，DM的长.
(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
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答案： 解:
(1) 在 $Rt\triangle APD$ 中，$AP = 1$，$AD = 2$，
$\therefore PD = \sqrt{AD^2 + AP^2} = \sqrt{5}$。
$\therefore AM = AF = PF - AP = PD - AP = \sqrt{5} - 1$，$DM = AD - AM = 3 - \sqrt{5}$。
(2) 点 $M$ 是 $AD$ 的黄金分割点。理由如下:
$\because \frac{AM}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
$\therefore$ 点 $M$ 是 $AD$ 的黄金分割点。

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，$∠A = 36^{\circ }$，BD平分$∠ABC$交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点.
(2)求线段AD的长.
!

答案： 解:
(1) 证明: $\because AB = AC = 1$，$\angle A = 36^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。
$\because BD$ 平分 $\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD = 36^{\circ}$。
$\therefore \angle BDC = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$。
$\therefore DA = DB$，$BD = BC$。
$\therefore AD = BD = BC$。
$\therefore \triangle BDC \backsim \triangle ABC$。
$\therefore BC : AC = CD : BC$，即 $BC^2 = CD \cdot AC$。
$\therefore AD^2 = CD \cdot AC$。
$\therefore$ 点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点。
(2) 设 $AD = x$，则 $CD = AC - AD = 1 - x$。
$\because AD^2 = CD \cdot AC$，
$\therefore x^2 = 1 - x$，
解得 $x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}$（负值舍去）。
$\therefore AD$ 的长为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。