《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,已知正方形ABCD,点E是AB上的一点,连接CE,以CE为一边,在CE的上方作正方形CEFG,连接DG.求证:$AB=AE+DG$.
!

答案： 证明:
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴$CB = CD$,$CE = CG$,$∠BCD = ∠ECG = 90^{\circ}$.
∴$∠BCD - ∠DCE = ∠ECG - ∠DCE$.
∴$∠BCE = ∠DCG$.
∴$△CBE ≌ △CDG$.
∴$BE = DG$.
∴$AB = AE + BE = AE + DG$.

2. 如图,在平行四边形ABCD中,$∠ABC$的平分线交AD于点E,过点E作$EF// AB$交BC于点F.
(1)求证:四边形ABFE是菱形.
(2)若$AB=5,BE=8,CF=2.5$,求平行四边形ABCD的面积.
!

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD // BC$.
∵$EF // AB$,
∴四边形ABFE是平行四边形.
∵$AE // BF$,
∴$∠AEB = ∠FBE$.
∵BE平分$∠ABC$,
∴$∠ABE = ∠CBE$.
∴$∠ABE = ∠AEB$.
∴$AB = AE$.
∴平行四边形ABFE是菱形.
(2)如图，连接AF与BE相交于点M,过点A作$AN ⊥ BC$于点N.

由
(1),得四边形ABFE是菱形,
∴$AF ⊥ BE$,$AM = \frac{1}{2}AF$,
$AB = BF = 5$,$BM = ME = \frac{1}{2}BE = 4$.
在$Rt△AMB$中,
$AM = \sqrt{AB^{2} - BM^{2}} = 3$.
∴$AF = 2AM = 6$.
∴$S_{菱形ABFE} = \frac{1}{2}AF \cdot BE = BF \cdot AN$,
解得$AN = \frac{24}{5}$.
∵$BC = BF + FC = 5 + \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$,
∴$S_{平行四边形ABCD} = BC \cdot AN = \frac{15}{2} × \frac{24}{5} = 36$.

3. 如图,在$□ABCD$中,过点D作$DE⊥AB$,垂足为点E,点F在边CD上,$DF=BE$,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若$AE=3,BF=4$,AF平分$∠DAB$,求$□ABCD$的面积.
!

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$DC // AB$,即$DF // EB$.
∵$DF = BE$,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵$DE ⊥ AB$,
∴$∠DEB = 90^{\circ}$.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)由
(1),得四边形BFDE是矩形,
∴$DE = BF = 4$,$BE = DF$.
∵$DE ⊥ AB$,
∴$AD = \sqrt{AE^{2} + DE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.
∵$DC // AB$,
∴$∠DFA = ∠FAB$.
∵AF平分$∠DAB$,
∴$∠DAF = ∠FAB$.
∴$∠DAF = ∠DFA$.
∴$DF = AD = 5$.
∴$BE = 5$.
∴$AB = AE + BE = 3 + 5 = 8$.
∴$S_{//ogram ABCD} = AB \cdot BF = 8 × 4 = 32$.

4. 如图,在四边形ABFC中,$∠ACB=90^{\circ }$,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且$CF// AE$.
(1)求证:四边形BECF是菱形.
(2)当$∠A=$45°时,四边形BECF是正方形.
(3)在(2)的条件下,若$AC=4$,则四边形ABFC的面积为12.
!

答案： 解:
(1)证明:
∵EF是BC的垂直平分线,
∴$CD = BD$,$EF ⊥ BC$.
∵$CF // AB$,
∴$∠BED = ∠CFD$,$∠EBD = ∠FCD$.
∴$△BED ≌ △CFD$.
∴$DE = DF$.
∵$CD = BD$,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵$EF ⊥ BC$,
∴四边形BECF是菱形.
(2)45
(3)12