《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

相似三角形的判定1：两角分别相等的两个三角形相似。
几何语言：∵$ \angle A = \angle A' $，$ \angle B = \angle B' $，
∴△ABC∽△A'B'C'。

答案： 相等 $ \angle A = \angle A' $，$ \angle B = \angle B' $

【例1】(北师教材九上P89例1改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE//BC。
(1)求证：△ADE∽△ABC。
(2)若AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
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答案： 解：
(1)证明：$ \because DE // BC $，
$ \therefore \angle ADE = \angle B $，$ \angle AED = \angle C $。
$ \therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC $。
(2)由
(1)，得$ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $，
$ \therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} $，即$ \frac{5}{7} = \frac{10}{BC} $。
$ \therefore BC = 14 $。

【变式1】如图，AB//CD，AC与BD相交于点O。
(1)求证：△AOB∽△COD。
(2)若$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}，$BD=12，求OB的长。
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答案： 解：
(1)证明：$ \because AB // CD $，
$ \therefore \angle A = \angle C $，$ \angle B = \angle D $。
$ \therefore \triangle AOB \backsim \triangle COD $。
(2)由
(1)，得$ \triangle AOB \backsim \triangle COD $，
$ \therefore \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} = \frac{1}{2} $，即$ \frac{OB}{12 - OB} = \frac{1}{2} $，
解得$ OB = 4 $。

【例2】(北师教材九上P90T3)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D。
(1)请指出图中所有的相似三角形。
(2)你能得出AD²=BD·DC吗？
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答案： 解：
(1)$ \triangle ABD \backsim \triangle CAD $，$ \triangle ABD \backsim \triangle CBA $，$ \triangle CAD \backsim \triangle CBA $。
(2)$ \because \angle BAC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BAD + \angle CAD = 90^{\circ} $。
$ \because AD \perp BC $，
$ \therefore \angle BAD + \angle B = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle B = \angle CAD $。
$ \because \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \triangle ABD \backsim \triangle CAD $。
$ \therefore \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD} $。
$ \therefore AD^{2} = BD \cdot DC $。

【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上的一点，连接DE，点F为线段DE上的一点，且∠AFE=∠B。求证：△ADF∽△DEC。
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课堂总结：证明两个三角形相似通常利用公共角、对顶角、平行线、角平分线、余角(或补角)、外角的性质证明角相等。

答案： 证明：$ \because $四边形$ ABCD $是平行四边形，
$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $。
$ \therefore \angle C + \angle B = 180^{\circ} $，$ \angle ADF = \angle DEC $。
$ \because \angle AFD + \angle AFE = 180^{\circ} $，$ \angle AFE = \angle B $，
$ \therefore \angle AFD = \angle C $。
$ \therefore \triangle ADF \backsim \triangle DEC $。