《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）。为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量。某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离。方案如下：
|示意图|!!|
|----|----|
|说明|如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN。|
|测量数据|∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm。|
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离。（结果精确到0.1cm，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40）

答案：
解：如图，过点A作$AF⊥MN$，垂足为点F.

设$BF=xcm.$
$\because BC=9cm,$
$\therefore CF=BC+BF=(x+9)cm.$
在$Rt△ABF$中，$∠ABF=∠DBN=35^{\circ }.$
$\therefore AF=BF\cdot tan35^{\circ }\approx 0.7xcm.$
在$Rt△ACF$中，$∠ACF=∠ECN=22^{\circ }.$
$\therefore AF=CF\cdot tan22^{\circ }\approx 0.4(x+9)cm.$
$\therefore 0.7x=0.4(x+9),$
解得$x=12.$
$\therefore AF=0.7×12=8.4(cm).$
答：新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm.

【变式3】某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°。求奇楼AB的高度。（结果精确到1m，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27）
!

答案：
解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则$∠ACQ=90^{\circ }.$

由题意，得$BC=225m,PQ=200m.$
在$Rt△BCQ$中，$∠BQC=45^{\circ },$
$\therefore CQ=BC=225m.$
$\therefore PC=PQ+CQ=425m.$
在$Rt△PCA$中，$tan∠APC=tan15^{\circ }=\frac {AC}{PC}=\frac {AC}{425}\approx 0.27.$
$\therefore AC\approx 114.75m.$
$\therefore AB=BC-AC\approx 225-114.75=110.25\approx 110(m).$
答：奇楼AB的高度约为110m.