《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 二次函数的解析式$y = a(x - h)^2 + k$叫做顶点式，其顶点坐标为$(h,k)$.

答案： $(h,k)$

2. 已知二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象的顶点坐标是$(1,2)$，则$h =$1，$k =$2.

答案： 1 2

【例1】已知二次函数的顶点为$(1,-6)$，且经过$(3,2)$，求该二次函数的解析式.

答案： 解：设该二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)^2 - 6$。
把 $(3,2)$ 代入，得 $a = 2$。
∴该二次函数的解析式为 $y = 2(x - 1)^2 - 6$。

【变式1】已知二次函数的图象经过点$(-3,-2)$，且顶点坐标为$(-1,4)$，求这个函数的解析式.

答案： 解：设这个函数的解析式为 $y = a(x + 1)^2 + 4$。
把 $(-3,-2)$ 代入，得 $a(-3 + 1)^2 + 4 = -2$，
解得 $a = -\frac{3}{2}$。
∴这个函数的解析式为 $y = -\frac{3}{2}(x + 1)^2 + 4$。

【例2】已知二次函数的图象经过点$C(0,-3)$，对称轴为直线$x = 1$，函数的最小值为$-4$.
(1) 求此函数的解析式.
(2) 当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围为$x ＞ 1$.
(1)解：∵对称轴为直线 $x = 1$，函数的最小值为 $-4$，∴顶点为 $(1,-4)$。设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)^2 - 4$。把 $C(0,-3)$ 代入，得 $-3 = a - 4$，解得 $a = 1$。∴此函数的解析式为 $y = (x - 1)^2 - 4$。

答案： 解：
(1)
∵对称轴为直线 $x = 1$，函数的最小值为 $-4$，
∴顶点为 $(1,-4)$。
设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)^2 - 4$。
把 $C(0,-3)$ 代入，得 $-3 = a - 4$，
解得 $a = 1$。
∴此函数的解析式为 $y = (x - 1)^2 - 4$。
(2)$x ＞ 1$

【变式2】已知二次函数的图象经过点$(4,-3)$，并且当$x = 3$时，$y$有最大值$4$，求这个二次函数的解析式.

答案： 解：
∵二次函数在 $x = 3$ 时，$y$ 有最大值 $4$，
∴图象的顶点为 $(3,4)$。
设这个二次函数的解析式为 $y = a(x - 3)^2 + 4$。
将 $(4,-3)$ 代入，得 $-3 = a + 4$，
解得 $a = -7$。
∴这个二次函数的解析式为 $y = -7(x - 3)^2 + 4$。

【例3】已知抛物线过$(-3,0)$，$(1,0)$两点，与$y$轴的交点为$(0,4)$，求该抛物线的解析式.

答案： 解：
∵抛物线过 $(-3,0)$，$(1,0)$ 两点，
∴设抛物线解析式为 $y = a(x + 3)(x - 1)$。
∵抛物线 $y = a(x + 3)(x - 1)$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$，
∴$4 = a(0 + 3)(0 - 1)$，
解得 $a = -\frac{4}{3}$。
∴抛物线的解析式为 $y = -\frac{4}{3}(x + 3) \cdot (x - 1)$。

【变式3】已知抛物线经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$，求抛物线的解析式.

答案： 解：
∵抛物线过点 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，
∴设抛物线的解析式为 $y = a(x - 3) \cdot (x + 1)$。
将 $(0,3)$ 代入，得 $3 = -3a$，
解得 $a = -1$。
∴抛物线的解析式为 $y = -(x - 3) \cdot (x + 1)$。