《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
|方程|求根公式|根的判别式|方程的根与$\Delta$的关系|
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|$ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)|$x =$$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$|$\Delta=$$b^{2}-4ac$|①$\Delta＞0\Leftrightarrow$方程有两个不相等的实数根；
②$\Delta$=$0\Leftrightarrow$方程有两个相等的实数根；
③$\Delta＜0\Leftrightarrow$方程没有实数根；
④$\Delta$≥$0\Leftrightarrow$方程有两个实数根。|
|(1)已知一元二次方程$2x^{2}+3x + 1 = 0$，则根的判别式$\Delta$的值为1，方程有两个不相等的实数根。
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m =$1。

答案： $ \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $$ $$ b ^ { 2 } - 4 a c $
①两个不相等的 ②= ③没有 ④≥
(1)1 两个不相等的实数
(2)1

二、课堂导学
知识点1 计算判别式($\Delta$)，判断方程根的情况
【例1】利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^{2}-3x-\frac{3}{2}=0$；
(2)$3x^{2}+10 = x^{2}+8x$。
【例1】解：(1)$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - \frac { 3 } { 2 } ) = 21 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)将方程化成一般形式为$2 x ^ { 2 } - 8 x + 10 = 0$.
$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × 10 = - 16 ＜ 0$，
∴方程没有实数根.
【变式1】(1)一元二次方程$2x^{2}+x - 1 = 0$的根的情况是（A）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
(2)一元二次方程$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$的根的情况是（C）
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 只有一个实数根

答案： 【例1】解：
(1)$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - \frac { 3 } { 2 } ) = 21 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)将方程化成一般形式为$2 x ^ { 2 } - 8 x + 10 = 0$.
$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × 10 = - 16 ＜ 0$，
∴方程没有实数根.
【变式1】
(1)A
(2)C

【例2】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx - 2 = 0$，求证：无论$m$取何值，该方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：$\because \Delta = m ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 2 ) = m ^ { 2 } + 8 ＞ 0$，
∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根.

【变式2】无论$p$取何值，方程$(x - 3)(x - 2)-p^{2}=0$总有两个不相等的实数根吗？说明理由。

答案： 解：无论p取何值，方程$( x - 3 ) ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$总有两个不相等的实数根.
理由如下：$( x - 3 ) ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$整理得$x ^ { 2 } - 5 x + 6 - p ^ { 2 } = 0$，
$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 25 - 4 ( 6 - p ^ { 2 } ) = 1 + 4 p ^ { 2 } \geq 1$.
∴方程$( x - 3 ) ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$总有两个不相等的实数根.