《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，用三个能够重合的正方形ABGH，BCFG，CDEF拼成矩形ADEH，连接AE，AE与BG，CF分别交于点P，Q。若AB=6cm，则BP=2 cm，CQ=4 cm。

答案： $ 2 \, \text{cm} $ $ 4 \, \text{cm} $

2. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。求证：△ABC∽△BDC。
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答案： 证明：$ \because \angle A = 36^{\circ} $，$ AB = AC $，
$ \therefore \angle ABC = \angle ACB = 72^{\circ} $。
$ \because BD $是$ \angle ABC $的平分线，
$ \therefore \angle CBD = 36^{\circ} = \angle A $。
$ \because \angle A = \angle CBD = 36^{\circ} $，$ \angle C = \angle C $，
$ \therefore \triangle ABC \backsim \triangle BDC $。

3. 如图，DA⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，∠DCE=90°。求证：△ACD∽△BEC。
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答案： 证明：$ \because DA \perp AB $，$ EB \perp AB $，
$ \therefore \angle DAC = \angle CBE = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle ADC + \angle DCA = 90^{\circ} $。
$ \because \angle DCE = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle DCA + \angle BCE = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle BCE = \angle ADC $。
$ \therefore \triangle ACD \backsim \triangle BEC $。

4. 如图，在□ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交BD于点F。
(1)求证：△BEF∽△DAF。
(2)若$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}，$BD=10，求BF的长。
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答案： 解：
(1)证明：$ \because $四边形$ ABCD $是平行四边形，
$ \therefore AD // BE $，$ AD = BC $。
$ \therefore \angle DAF = \angle BEF $，$ \angle ADF = \angle EBF $。
$ \therefore \triangle BEF \backsim \triangle DAF $。
(2)由
(1)，得$ \triangle BEF \backsim \triangle DAF $，
$ \therefore \frac{BF}{DF} = \frac{BE}{AD} $。
$ \because AD = BC $，$ \frac{BE}{BC} = \frac{2}{3} $，$ BD = 10 $，
$ \therefore \frac{10 - DF}{DF} = \frac{2}{3} $，解得$ DF = 6 $。
$ \therefore BF = BD - DF = 4 $。

5. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子(图中的所有点、线都在同一平面内)，请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由。
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答案： 解：$ \triangle BAE \backsim \triangle CDA $，$ \triangle EDA \backsim \triangle EAB $。
理由如下：
由题意，得$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \angle B = \angle C = 45^{\circ} $，$ \angle FAG = 45^{\circ} $。
$ \therefore \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 45^{\circ} + \angle BAD $。
$ \because \angle BAE = \angle BAD + 45^{\circ} $，
$ \therefore \angle BAE = \angle ADC $。
$ \because \angle B = \angle C $，
$ \therefore \triangle BAE \backsim \triangle CDA $。
$ \because \angle DEA = \angle AEB $，
$ \therefore \triangle EDA \backsim \triangle EAB $。