《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

答案： 平行　第三边的一半

2. 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形.

答案： 中点

【例1】如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点. 求证：所得的中点四边形EFGH是平行四边形.
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答案：
证明:如图，连接BD.
　　　　　
∵点E,H是AB,AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，EH//BD.
　又
∵点F,G是BC,CD的中点，
∴FG是△BCD的中位线.
∴FG=$\frac{1}{2}$BD，FG//BD.
∴EH$\equalparallel$FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.

【变式1】如图，点E，F，G，H分别是□ABCD各边的中点，四边形EFGH是____形，请说明理由.
!

答案：
平行四边
　解:理由如下:如图，连接BD.
　　　　
∵点E,H分别是AB,AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH//BD，EH=$\frac{1}{2}$BD.
　同理,可得FG//BD，FG=$\frac{1}{2}$BD.
∴EH//FG，EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.

【例2】如图，在四边形ABCD中，AC=BD，点E，F，G，H分别是各边的中点. 四边形EFGH是什么特殊的四边形？请证明.
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答案： 解$:$四边形$EFGH$是菱形$.$　　
$　$证明如下$:$
∵点$E,H$分别是$AB,AD$的中点$,$　　
$　$
∴$EH=\frac{1}{2}BD，$$EH//BD.$　　
$　$同理$,$可得$FG=\frac{1}{2}BD，$$FG//BD.$　　
$　$
∴$EHFG.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是平行四边形$.$　　
$　$
∵点$E,F$分别是$AB,BC$的中点，　　
$　$
∴$EF=\frac{1}{2}AC.$　　
$　$
∵$AC=BD,$　　
$　$
∴$EH=EF.$　　
$　$
∴平行四边形$EFGH$是菱形$.$　　

【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是矩形.
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答案： 证明$:$
∵点$H,G$是$AD,DC$的中点，　　
$　$
∴$HG\frac{1}{2}AC.$　　
$　$同理$,$可得$EF\frac{1}{2}AC.$　　
$　$
∴$HGEF.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是平行四边形$.$　　
$　$又
∵点$G,F$分别是$DC,CB$的中点，　　
$　$
∴$GF//DB.$　　
$　$
∵$HG//AC，$$AC⊥BD,$　　
$　$
∴$HG⊥GF.$　　
$　$
∴$∠HGF=90°.$　　
$　$
∴四边形$EFGH$是矩形$.$